湖北省武汉市武昌区2022届1月质量检测高三数学试题

湖北省武汉市武昌区2022届1月质量检测高三数学试题

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，则

A.  B.  C.  D.

3. 小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学乘坐公共汽车的概率为，乘坐地铁的概率为，而且乘坐公共汽车与地铁时，小明迟到的概率分别为和，则小明准时到校的概率为

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数在时的值域为

A.  B.  C.  D.

5. 已知圆锥的底面圆心到母线的距离为2，当圆锥母线的长度取最小值时，圆锥的侧面积为

A.  B.  C.  D.

6. 已知正数x，y满足，则的最小值与最大值的和为

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

7. 已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是

A. 实轴长是虚轴长的2倍 B. 焦距为8
C. 离心率为 D. 渐近线方程为

10. 为弘扬文明、和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”、“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数单位：人记录如下：
     

对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有

A. “党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25
B. “邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64
C. 用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为
D. 用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为

11. 已知直线与抛物线相交于A，B两点，点A在x轴上方，点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

12. 已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为的菱形，B，C分别为AE，FD的中点，，则在该四面体中
    
    
     

A.
B. BE与平面DCE所成角的余弦值为
C. 四面体ABCD的内切球半径为
D. 四面体ABCD的外接球表面积为

13. 已知函数是偶函数，则___.
14. 展开式中的系数为___.
15. 函数的最小值为___.
16. 已知圆O的方程为，P是圆上一点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，则的取值范围为__________，
17. 武汉热干面既是中国四大名面之一，也是湖北武汉最出名的小吃之一.某热干面店铺连续10天的销售情况如下单位：份

分别求套餐一、套餐二的均值、方差，并判断两种套餐销的稳定情况;

假定在连续10天中每位顾客只购买了一份，根据图表内容填写下列列联表，并据此判断能否有的把握认定顾客性别与套餐选择有关?

附：

18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

求

若，，求的面积






 

19. 已知数列满足，，且对任意，都有

求证：是等比数列，并求的通项公式;

求使得不等式成立的最大正整数






 

20. 如图，一张边长为4的正方形纸片ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，将正方形纸片沿EF对折后竖立在水平的桌面上.
     

求证：

若二面角的平面角为，K是线段含端点上一点，问是否存在点K，使得直线AK与平面CDEF所成角的正切值为若存在，求出CK的长度;若不存在，说明理由.






 

21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为

求椭圆E的标准方程;

已知点A，B是双曲线的两个实轴顶点，点P是双曲线上异于A，B的任意一点，直线PA交E于M，直线PB交E于N，证明：直线MN的倾斜角为定值.






 

22. 已知，其中

当时，分别求和时的单调性;

求证：当时，有唯一实数解

若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查交并补集的混合运算，属于基础题.
先求出集合A，再根据交并补集的混合运算法则即可得解.

【解答】

解：因为集合或，
所以，且，
所以，
故选：
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查复数的四则运算和共轭复数定义，属于基础题.
写出，代入已知式子，利用复数的四则运算即可求出结果.

【解答】

解：，则，
，
故选：

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查对立事件，应用概率解决实际问题，属于基础题．
记“小明准时到校为事件A”，事件A发生有两种可能，分别是：乘坐公共汽车且准时到校或者乘坐地铁准时到校，根据概率公式计算即可．

【解答】

解：记“小明准时到校为事件A”，

故小明准时到校的概率为
故选

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的对称性，考查三角函数的平移变换及值域的求解，属于中档题.
根据题意求得函数的解析式，即可求其值域.

【解答】

解：由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，
故，
将的图象向右平移个单位长度，得到，
当时，，
此时，故，
故选

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了函数最值问题，是中档题.
设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，根据题意列出方程求出l取最小值时r和h的值，再计算此时圆锥的侧面积.

【解答】

解：设圆锥的母线长为l，底面半径为，高为h，如图所示：

由题意知，解得，
又，
解得
设，则，
所以函数，
当时取得最大值，
即，当l取最小值时，，，，
所以圆锥的侧面积为
故选 

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题.
令，利用且，即可求解．

【解答】

解：因为正数x，y满足，
令，则，
，
，当且仅当时取等号，
，
，
解得，
的最小值与最大值的和为
故选

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等差数列的通项公式，不等式的性质，属于中档题.
由题意得出，，且，利用等差数列的通项公式得出，，由不等式的性质即可求解出范围，确定选项.

【解答】

解：已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有，
则，，且，
所以，解得：，
，
由，
则，则，
则，所以
故选

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查对数运算、指数函数性质及利用函数的单调性比较大小，属于中档题.
利用对数运算性质可得，令，则单调递减，且，可得，即可得，再由指数运算性质得到，可得，从而可得结论.

【解答】

解：，
令，
可知函数在R上单调递减，又，
则，即，
可得，
所以，
又，所以，
故
故选

9.【答案】BD
 

【解析】

【分析】

此题考查双曲线的性质及几何意义，属于基础题.
直接依据双曲线的几何意义计算即可.

【解答】

解：由双曲线C：，得，
所以，，
所以实轴长为，虚轴长为，A选项错；
焦距为，故B选项正确；
离心率，故C选项错；
渐近线为，即，故D选项正确，
故选

10.【答案】BD
 

【解析】

【分析】

本题主要考查概率的相关概念。属于基础题.
根据一组数据的最大值与最小值的差即可求出极差，根据一组数从小到大排列找出最中间的项即可求出中位数，根据平均数的定义即可求出平均数，根据众数的概念和古典概型的计算公式即可判断4个选项的对错即可.

【解答】

解：A，由题知极差，中位数为：27，故A错误；
B，由题意知众数为11，平均数为，故B正确；
C，连续三天一共有5种情况，其中符合题意的有4种，所以概率为，故C错误；
D，连续两天一共有6中情况，其中结合B选项知符合题意的有2种，故概率为，故D正确.
故选

11.【答案】ABC
 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的定义和性质，直线与抛物线的位置关系，是中档题.
根据题意可得，再联立方程组，由于点M是以AB为直径的圆上的点，故，结合韦达定理可得，再利用，可得，再利用抛物线的定义可得的值.

【解答】

解：抛物线的焦点为，准线方程为
由直线，故直线l经过抛物线的焦点
又因为点是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，
则点在准线上，即，解得，故A选项正确；
故直线，抛物线方程为，
设，由，
消去x，化简得
，故，
因为点M在以AB为直径的圆上，则，
所以，
即，
所以，
所以，解得，故B选项正确；
故直线，直线的斜率为，即，
由抛物线方程为，可得，所以，
所以，所以，故C选项正确；
由，可得，
根据直线的斜率为，且点A在x轴上方，
可得，
由抛物线的定义知，故D选项错误；
故选

12.【答案】ACD
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间线线的位置关系、空间角、球的表面积及棱锥的体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于较难题.
由展开图知，该四面体对棱相等，可补形为长方体，画出图形，进而逐项分析，即可得出结论.

【解答】

解：由展开图知，该四面体四个面都为腰长为，底长为的等腰三角形，
则该四面体对棱相等，可补形为长方体，如图，设长方体长宽高分别为 a， b， c，

，，，
，，
可知点E与点A重合，点F与点D重合，
连接GN，因为，四边形DGCN为正方形，
所以，
又，所以，即，故A正确；
四面体体积可用割补法，等于长方体体积减去四个小三棱锥的体积，
，
四面体表面积为展开图面积，可求得D到AB的距离为，
故四面体表面积为，
内切球半径，故C正确；
BE与平面DCE所成角即为AB与平面ACD所成角，设为，
，，
三角形ACD的面积为，
设点B到平面ACD的距离为h，
则，可得，
则，，
即BE与平面DCE所成角的余弦值为，故B错误；
四面体外接球即为长方体外接球，故长方体的体对角线即为外接球的直径，
可得，
则四面体外接球的表面积为，故D正确.
故选

13.【答案】
 

【解析】本题主要考查函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于中档题.
函数为偶函数，所以，解得
 

14.【答案】90
 

【解析】

【分析】

本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项，属于基础题.
按展开，求得可能出现的项，
再逐项分析系数即可得解.

【解答】

解：

的展开式中四次项只在前3项中产生，其系数为

故答案为：

15.【答案】1
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的最值求解问题，属于中档题.
先去绝对值得出分段函数，判断分段函数每段的单调性，然后求出每段上函数的最小值，进行比较从而得出整个函数的最小值即可.

【解答】

解：由题知，若，
即，
易知单调递减，
即，
又，
即，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
即由分段函数的两段上的最小值知，函数最小值为
故答案为
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的最小值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属于中档题．
设，令，由向量数量积公式得，由此能求出的最小值．

【解答】

解：如图所示，设，


，
令，则，
所以，
，
所以根据对勾函数的性质，当时，，
当时，
故答案为 

17.【答案】解析：套餐一：均值，
方差
套餐二：均值，
方差
因为，所以，套餐二销量相对稳定.
列联表如下：

因为，
所以，没有以上的把握认定顾客性别与套餐选择有关.
 

【解析】本题考查独立性检验和均值方差的求解，考查学生数据分析的能力和运算能力，属于基础题．
根据题干中的数据列式求解即可；
根据题干中列联表，补充完整表格，再用的公式计算结果即可；
 

18.【答案】解：因为，所以，
因为，所以，即，
因为A是的内角，所以；
因为，，，
所以由，得，
即，解得，
所以，
 

【解析】本题考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
利用正弦定理和辅助角公式化简即可求解；
利用余弦定理求解c，即可求解的面积．
 

19.【答案】解：由，得，
所以，，
从而，
，
所以，
设，
即，
所以，，
于是，
因为，且，
所以，使成立的最大正整数
 

【解析】本题考查数列的递推关系 、等比数列的通项公式 、等比数列的判定与证明和错位相减法，属于中档题；
由，得，可得，，
从而即可求解；
，利用错位相减法可得
再由，且，即可求解；
 

20.【答案】解：因为，，，AE，平面
所以平面
因为平面ADE，所以
因为，，所以是二面角的平面角，即
因为平面ADE，平面CDEF，
所以平面平面
过A作，垂足为G，
又平面平面，平面ADE
则平面
连结KG，则为AK与平面CDEF所成的角，即
在中，因为，，所以
在中，因为，所以
设，过K作于H，则
在中，由，得，
解之得或舍，所以，即

 

【解析】本题重点考查线面垂直的性质、二面角和线面角，属于中档题.
通过求证平面ADE，由线面垂直的性质定理即可求证;
先判断是二面角的平面角，即，再说明则为AK与平面CDEF所成的角，即，然后设，求出t，即可得CK的长度.
 

21.【答案】解：由题意知，，，又，解得，，
所以椭圆E的标准方程为；
由知，双曲线方程为，

设，，，则，
因为，所以直线PA的方程为，
联立椭圆方程，消去y得
，
于是，
将代入，化简得，
同理，直线PB的方程为，联立椭圆方程，解得，
所以直线MN的倾斜角为
 

【解析】本题考查椭圆的方程及性质，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的定值问题，属于中档题.
由题意知，，，且，解得，，即可求解；
设，，，由，表示出直线PA的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合，可求得，同理求得，即可证明.
 

22.【答案】解：，
当，时，，，
由，得由，得，
所以，在单调递增，在单调递减，
当，时，，，
令，，
由上述知道，
所以在单调递增；
当时，，
即，
即，
令，则，
所以，当n为偶数时，，单调递减，
因为，所以有唯一解，
当n为奇数时，若，则，在单调递增;
若，则，在单调递减，
因为，所以有唯一解，
综上，当时，有唯一实数解；
当，时，等价于，
即，即，
由知，，
所以，
 

【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导数中的不等式恒成立问题，属于难题.
利用导数分别求，和时的的单调性；
将转化为令，则，分n为奇偶即可证明.
由知，，即可求解.