盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学试题

盐城市、南京市2022届高三年级第一次模拟考试数学试题

1. 已知集合R，，则

A.  B.  C.  D.

2. 在等比数列中，公比为q，已知，则是数列单调递减的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

3. 某中学高三班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩X∽，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为

参考数据： ，

A. 16 B. 10 C. 8 D. 2

4. 若为虚数单位，则

A.  B.  C.  D.

5. 已知直线与：相交于A，B两点，且为等边三角形，则实数

A. 或2 B. 或4 C.  D.

6. 在平面直角坐标系xOy中，设，，向量，，则的最小值为

A. 1 B. 2 C.  D.

7. 已知，则的最小值为

A.  B. 1 C.  D.

8. 已知，则当时，与的大小关系是

A.  B.
C.  D. 不确定

9. 若函数，则关于的性质说法正确的有

A. 偶函数 B. 最小正周期为
C. 既有最大值也有最小值 D. 有无数个零点

10. 若椭圆的左，右焦点分别为，则下列b的值，能使以为直径的圆与椭圆C有公共点的有

A.  B.  C.  D.

11. 若数列的通项公式为，记在数列的前项中任取两项都是正数的概率为，则

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在四棱锥中，已知底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，，，，记四棱锥的外接球为球O，平面PAD与平面PBC的交线为l，BC的中点为E，则

A.  B.
C. 平面平面PAD D. l被球O截得的弦长为1

13. 若是奇函数，则__________.
14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，则的最小值是__________.
15. 计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数可以表示成二进制数…，，则…，其中，当时，若记，，，…，中1的个数为，则满足，的n的个数为__________.
16. 已知：若函数，在R上可导，，则又英国数学家泰勒发现了一个恒等式……，则__________，__________.
17. 从①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.

已知点D在内，，，，，若__________，求的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.






 

18. 已知数列的通项公式为，数列的首项为

若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；

若是公比为2的等比数列，求数列的前n项和．






 

19. 佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育．下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：

请利用所给数据求不戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；

交警统计年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关?

参考公式：，

，其中






 

20. 在三棱柱中，，，，，，D为AC中点，平面平面
    
    求证：平面ABC；
    求直线与平面所成角的正弦值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 设双曲线的右顶点为A，虚轴长为，两准线间的距离为

求双曲线C的方程；

设动直线l与双曲线C交于P、Q两点，若，设点A到动直线l的距离为d，求d的最大值.






 

22. 设函数

求函数在处的切线方程；

若为函数的两个不等于1的极值点，设，，记直线PQ的斜率为k，求证：

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题主要考查集合交集的运算，属于基础题．
先化简集合M，N，再由交集运算得答案．

【解答】

解：，R，

故选：

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于基础题．
根据等比数列的性质结合必要条件、充分条件的判断，即可得到答案．

【解答】

解：当时，，
故，即是单调递减数列，充分性成立．
若是单调递减数列，则，即，
，
对都成立，，必要性成立．
故当时，是数列单调递减的充要条件．
故选

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查正态分布的概率计算，属于基础题.
由正态分布的概率计算即可求解.

【解答】

解：，
，
故选：

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的运算，二倍角正弦公式，属基础题．
由复数的四则运算法则，结合二倍角公式即可求得结果．

【解答】

解：由可得，

故选

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
求出圆心到直线的距离，直接利用点到直线的距离公式求出结果．

【解答】

解：由于的方程为，
所以的圆心为，半径为2，
由于为等边三角形，所以，
圆心到直线的距离，
即，
解得或
故选：

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的模和平面向量的坐标运算，属于基础题．
由题意知 ，，，根据二次函数的性质即可求其最值．

【解答】

解：由于，，向量，
所以，，，，
又因为，所以，
所以
故当时，取最小值
故选：

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数关系式及两角和与差的三角函数，属于中档题.
根据题意利用同角三角函数之间的关系及两角和与差的三角函数可得的最大值为，进而利用分母取最大值时分式值最小即可求得结果.

【解答】

解：

，





，，
所以的最大值为，
所以的最小值为
故选

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数以及比较函数值的大小，属于中档题．
求出函数的单调区间，令，得或，结合图像可知，，三段与的大小关系，再根据函数的单调性即可得出与的大小．

【解答】

解：由函数，
得函数上单调递增，上单调递减，在上单调递增，
作出函数图像：

作出函数与的图像，如图所示，

令，得或，
结合函数图像可知：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，，
综上所述，当时，
故选：

9.【答案】CD
 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的性质，正弦函数的零点，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用函数的奇偶性的应用判定A的结论，直接利用函数的周期的应用判定B的结论，直接利用二次函数的性质判定C的结论，直接利用函数的零点和方程的关系判定D的结论．

【解答】

解：对于A，函数满足，所以函数不是偶函数，故A错误；
对于B，由于函数的最小正周期为，函数的最小正周期为为，所以的最小正周期为，故B错误；
对于C，，当，函数取得最小值，当，函数取得最大值，故C正确；
对于D，令，即，解得或，所以函数有无数个零点，故D正确．
故选：

10.【答案】ABC
 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题．
以为直径的圆：与椭圆C：有公共点，则，结合即可求解．

【解答】

解：以为直径的圆：与椭圆C：有公共点，
则，
由于，所以，
故，即
故选：

11.【答案】AB
 

【解析】

【分析】

本题考查数列和概率的综合应用，属于较难题.
利用数列的通项公式和古典概型，结合组合数公式对选项逐个判断即可.

【解答】

解：，，，，A正确；
前项中有个正数，个负数，


所以，B正确；
前项中有个正数，n个负数.

所以，C错误；


所以，D错误.
故选

12.【答案】ABD
 

【解析】

【分析】

本题考查面面垂直的判定，球的切、接问题，线面垂直的判定与性质，线面平行的判定与性质，二面角，属于中档题.
A选项，利用线面平行的判定与性质即可判定；B选项，利用线面垂直的判定与性质即可判定；C选项，利用利用线面垂直得出结论不成立；D选项，由外接球特征进行判断.

【解答】

解：对于A，因为，平面PAD，平面PAD，故平面PAD，
又因为平面PBC，平面平面，故，故A正确；
对于B，因为底面ABCD，底面ABCD，故，

连接AC，AE，因为四边形AECD是菱形，所以，
又因为四边形ADEB也是菱形，所以，所以可得，
又因为，PA，平面PAC，故平面PAC，
因为平面PAC，故，故B正确；
对于设AD中点为F，则等腰梯形ABCD中，，
由于底面ABCD，EF在底面ABCD内，故，
PA，AD相交于A，且二条直线均在平面PAD内，
故平面PAD，
如果平面平面PAD，
由平面与平面垂直的性质可得，平面PDE内，
F点不在平面PDE内，故平面PDE内不可能成立，故C错误；
对于D，设l与球的两个交点为，即Q在球上，
四边形PADQ是一个平面，其所在的外接圆是以PD为直径的圆，

为矩形，，D对.
故选：

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于基础题．
函数是奇函数，所以对任意的x，都有，则，即可代入求解

【解答】

解：因为函数是奇函数，
所以对任意的x，都有，
当，，即，
所以，所以，
故答案为：

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数关系以及正弦定理，属于中档题.
利用同角三角函数关系和正弦定理，结合三角函数的性质，计算得结论.

【解答】

解：由于，结合正弦定理，
可得，
，，
，
两边同时除以可得，，
即，
令，则，
，
所以，即，
，，
，
又，，即，，所以解得，
所以的最小值是
故答案为：

15.【答案】15
 

【解析】

【分析】

本题考查组合与组合数公式，属于基础题．
根据题意得出，即可求出结果．

【解答】

解：由题意中1的个数为3，且，
则中1的个数为2，
由，可得的n的个数为
故答案为：

16.【答案】1

【解析】

【分析】

本题考查赋值法，函数求导公式，归纳推理，属于中档题．
利用赋值法，在等式两边令，可以求出对等式两边求导，再令，可以求出，再次两边求导，令，可以求出利用归纳推理，可以得到前10项系数的表达式，最后利用裂项求和法求值即可．

【解答】

解：由题意，，
故
而，
故，
令，
故，
故，
以此类推，可以得到，
从而

故答案为：1；

17.【答案】解：选①，
，D在内，，

，，
为锐角，D为钝角，
在和中分别由余弦定理得：
，
，，
；
若选②，
，
，，
在内，，
，，
为锐角，D为钝角，
在和中分别由余弦定理得：
，
，，
；
若选③，
，
，，
，
在中，由余弦定理得：
，，
故
 

【解析】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
若选①，分别在和中运用余弦定理求出A，进而求出的面积；
若选②，由三角形的面积公式可得，再分别在和中运用余弦定理求出A，进而求出的面积；
若选③，先根据向量的数量积可得，再根据余弦定理求出BC，A，进而求出的面积.
 

18.【答案】解：，
，
为常数，
故也是等差数列；
由题意知：，
，
，
的前n项和为：
 

【解析】本题主要考查了等差数列的判定与证明，数列的通项公式，等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
根据已知及等差数列的判定与证明的计算，可知是否是等差数列；
根据已知及数列的通项公式，数列的求和的计算，求出数列的前n项和．
 

19.【答案】解：由表中数据知，，，
所以，
所以，
故所求回归直线方程为，
令，则人，
则该路口2022年不戴头盔的人数为775人；
由表中数据得，
则有的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.
 

【解析】本题考查了线性回归方程的求解和独立性检验 ，属于中档题．
先求出样本中心，然后利用公式求出和，即可得到回归方程，将代入回归方程求解即可；
由表中的数据计算，与临界值进行比较即可．
 

20.【答案】解：证明：因为，D为AC中点，所以，
又平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC；
由，，，得，，
由知平面ABC，平面ABC，
所以，，得，
以B为原点，建立如图坐标系，

则，，，，
，
，
设平面的法向量，
则，令，得，，故，
所以直线与平面所成角的正弦值为
 

【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质的应用，考查线面角求法，属中档题.
依题意，根据面面垂直的性质即可证得平面ABC；
以B为原点，建立如图坐标系，求得与平面的法向量的坐标，进而求得结果.
 

21.【答案】解：由题意知，，，
解得，
故双曲线 C的方程为
当直线l斜率存在时，设直线l方程为，，，，
联立，

化简得，，，
根据韦达定理得，
，，，
即，
代入，
可得
，
，
，
，
或，
当时，直线PQ恒过，舍去，
，
此时直线l方程为，恒过，
②当l斜率不存在时，设，
此时，，
或3，
当时，重合于A点，舍去，
，
直线l恒过，
的最大值为
 

【解析】本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系，向量的数量积的应用，属于难题.
根据已知及双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义的计算，求出双曲线C的方程；
根据已知及直线与双曲线的位置关系，向量的数量积的计算，求出d的最大值.
 

22.【答案】解：，
切点，切线斜率，
故切线方程为；

为函数的两个不等于1的极值点，
在上有两个不等于1的正根，
，解得，
不妨设，则，





证明
先证：
证：令，不等式即证，
所以，所以在上递增，
所以，故不等式成立，
即，
故
下只需证
令，则，所以，
证，即证，
令，
则，
所以在上单调递减，
故
 

【解析】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系的应用，属于难题.
根据已知及导数的几何意义的计算，求出函数在处的切线方程；
根据已知及利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系的计算，可知是否成立.