还剩7页未读，
继续阅读
苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案
展开
这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案，共10页。学案主要包含了基本初等函数的求导公式，利用导数公式求函数的导数，导数公式的应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
导语
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．
一、基本初等函数的求导公式
问题1 回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？
提示 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数．
问题2 如何求f(x)＝kx＋b的导数？
提示 因为
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \f(kx＋Δx＋b－kx＋b,Δx)＝k，
所以eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝k.故f′(x)＝k.
由导数几何意义，对于y＝kx＋b，可看成是某质点做匀速直线运动的模型，其在任意一点的瞬时速度不变，故在每一点的导数均为该直线的斜率．
知识梳理
1．求函数导数的流程图
eq \x(给定函数y＝fx)
↓
eq \x(计算\f(Δy,Δx)＝\f(fx＋Δx－fx,Δx))
↓
eq \x(\(lim,\s\d4(Δx→0)) \f(Δy,Δx)＝Ax)
↓
eq \x(f′x＝Ax)
2．常见函数的导数：
(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
(2)C′＝0(C为常数)；
(3)(x)′＝1；
(4)(x2)′＝2x；
(5)(x3)′＝3x2；
(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)；
(7)(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x)).
3．基本初等函数的导数：
(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(2)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
(3)(ex)′＝ex；
(4)(lga x)′＝eq \f(1,x)lga e＝eq \f(1,xln a)(a>0，且a≠1)；
(5)(ln x)′＝eq \f(1,x)；
(6)(sin x)′＝cs x；
(7)(cs x)′＝－sin x.
注意点：对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；
(5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解 (1)y′＝0.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln 3.
(3)y′＝eq \f(1,xln 10).
(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝，
∴y′＝＝eq \f(3,2)eq \r(x).
(5)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，
∴y′＝(cs x)′＝－sin x.
反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2 021；
(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；
(3)y＝4x；
(4)y＝lg3x.
解 (1)因为y＝2 021，所以y′＝(2 021)′＝0.
(2)因为y＝eq \f(1,\r(3,x2))＝，
所以y′＝.
(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.
(4)因为y＝lg3x，所以y′＝eq \f(1,xln 3).
二、利用导数公式求函数的导数
问题3 对于函数f(x)来说，f′(1)，f′(2)与f′(x)有什么区别与联系？
提示 f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(1)，f′(2)是导函数f′(x)在x＝1，x＝2处的导数值．
例2 求函数f(x)＝eq \f(1,\r(6,x5))在x＝1处的导数．
解 ∵f(x)＝eq \f(1,\r(6,x5))＝，
∴f′(x)＝，
∴f′(1)＝－eq \f(5,6).
反思感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．
跟踪训练2 (1)已知f(x)＝ln x，则f′(e)的值为 ．
答案 eq \f(1,e)
解析 ∵f′(x)＝eq \f(1,x)，∴f′(e)＝eq \f(1,e).
(2)已知函数f(x)＝eq \f(1,x)在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是 ．
答案 ±eq \f(\r(2),2)
解析 f′(x)＝－eq \f(1,x2)，当x＝a时，f′(a)＝－eq \f(1,a2)＝－2，
即a＝±eq \f(\r(2),2).
三、导数公式的应用
例3 已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解 ∵y′＝eq \f(1,x)，
∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
延伸探究
1．已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝ln x的一条切线，则k＝ .
答案 eq \f(1,e2)
解析 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝eq \f(1,e2).
2．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．
解 设切点为Q(x0，y0)，
则切线的斜率k＝eq \f(1,x0).
又切线的斜率k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(ln x0,x0)，
∴eq \f(ln x0,x0)＝eq \f(1,x0)，即x0＝e，
∴Q(e,1)，
∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
答案 A
解析 因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 ．
答案 －1
解析 设切点为(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x).
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以eq \f(1,x0)＝1，
即x0＝1，
所以切点为(1,0)．
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
1．知识清单：
(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式及应用．
(3)利用导数研究曲线的切线方程．
2．方法归纳：方程思想、待定系数法．
3．常见误区：不化简成基本初等函数．
1．(多选)下列选项正确的是( )
A．y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)
B．f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(3)＝－eq \f(2,27)
C．y＝2x，则y′＝2xln 2
D．y＝lg2x，则y′＝eq \f(1,xln 2)
答案 BCD
解析 对于A，y′＝0，故A错；
对于B，∵f′(x)＝－eq \f(2,x3)，∴f′(3)＝－eq \f(2,27)，故B正确；
显然C，D正确．
2．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)等于( )
A．8 B．12 C．8ln 3 D．0
答案 D
解析 f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，
所以f′(x)＝0.所以f′(2)＝0.
3．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于( )
A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－1
答案 C
解析 f(x)＝eq \r(x)，得f′(x)＝，
∴f′(8)＝eq \f(1,2)×＝eq \f(\r(2),8).
4．曲线y＝eq \f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是 ．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－eq \f(9,x2)，
∴k＝－1，
∴在点(3,3)处斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
课时对点练
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cs x)′＝－sin x B．(x3)′＝x3ln x
C．(ex)′＝xex－1 D．(ln x)′＝eq \f(1,xln 10)
答案 A
2．函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A．9 B．6 C．9ln 3 D．6ln 3
答案 C
解析 y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3.
3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
4．若函数f(x)＝cs x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 f′(x)＝－sin x，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,4)＝0.
5．(多选)下列各式中正确的是( )
A．(x7)′＝7x6 B．(x－1)′＝x－2
C．(eq \r(5,x2))′＝ D．(cs 2)′＝－sin 2
答案 AC
解析 ∵B项，(x－1)′＝－x－2；
D项，(cs 2)′＝0.
∴BD错误．
6．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1) D．(1，－1)
答案 BC
解析 y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
答案 4
解析 因为y′＝eq \f(1,2\r(x))，
所以切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，
令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，
令y＝0，得x＝－a，
由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4.
8．设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝ .
答案 －4x＋3
解析 ∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.
∴a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.
9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为eq \f(\r(2),2).
10．已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．
解 设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，y0)在切线上，
所以xeq \\al(2,0)＋2＝2x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,2)))，
解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))或
y＋2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案 C
解析 由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝－1得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝1，故选C.
12．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3 C．－2 D．1
答案 D
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，0))，与y轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))，
则l：x＋y＝4，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.
13．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
答案 D
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝eq \f(1,x)>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝ .
答案 cs x
解析 由已知得，f1(x)＝cs x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cs x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 021(x)＝f1(x)＝cs x.
15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ．
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线方程为y－aeq \\al(2,k)＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝eq \f(1,2)ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝eq \f(1,2)的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,n＋1)，0))，则an＝lg eq \f(n,n＋1)＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.
学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq \f(1,x)，y＝eq \r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
导语
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．
一、基本初等函数的求导公式
问题1 回顾之前所学，你学过哪些基本初等函数？
提示 幂函数，指数函数，对数函数，三角函数．
问题2 如何求f(x)＝kx＋b的导数？
提示 因为
eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(fx＋Δx－fx,Δx)＝eq \f(kx＋Δx＋b－kx＋b,Δx)＝k，
所以eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝k.故f′(x)＝k.
由导数几何意义，对于y＝kx＋b，可看成是某质点做匀速直线运动的模型，其在任意一点的瞬时速度不变，故在每一点的导数均为该直线的斜率．
知识梳理
1．求函数导数的流程图
eq \x(给定函数y＝fx)
↓
eq \x(计算\f(Δy,Δx)＝\f(fx＋Δx－fx,Δx))
↓
eq \x(\(lim,\s\d4(Δx→0)) \f(Δy,Δx)＝Ax)
↓
eq \x(f′x＝Ax)
2．常见函数的导数：
(1)(kx＋b)′＝k(k，b为常数)；
(2)C′＝0(C为常数)；
(3)(x)′＝1；
(4)(x2)′＝2x；
(5)(x3)′＝3x2；
(6)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))′＝－eq \f(1,x2)；
(7)(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x)).
3．基本初等函数的导数：
(1)(xα)′＝αxα－1(α为常数)；
(2)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
(3)(ex)′＝ex；
(4)(lga x)′＝eq \f(1,x)lga e＝eq \f(1,xln a)(a>0，且a≠1)；
(5)(ln x)′＝eq \f(1,x)；
(6)(sin x)′＝cs x；
(7)(cs x)′＝－sin x.
注意点：对于根式f(x)＝eq \r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝eq \f(x2,\r(x))；
(5)y＝2cs2eq \f(x,2)－1.
解 (1)y′＝0.
(2)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln eq \f(1,3)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))xln 3.
(3)y′＝eq \f(1,xln 10).
(4)∵y＝eq \f(x2,\r(x))＝，
∴y′＝＝eq \f(3,2)eq \r(x).
(5)∵y＝2cs2eq \f(x,2)－1＝cs x，
∴y′＝(cs x)′＝－sin x.
反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“eq \f(1,x)与ln x”，“ax与lgax”，“sin x与cs x”的导数区别．
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝2 021；
(2)y＝eq \f(1,\r(3,x2))；
(3)y＝4x；
(4)y＝lg3x.
解 (1)因为y＝2 021，所以y′＝(2 021)′＝0.
(2)因为y＝eq \f(1,\r(3,x2))＝，
所以y′＝.
(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.
(4)因为y＝lg3x，所以y′＝eq \f(1,xln 3).
二、利用导数公式求函数的导数
问题3 对于函数f(x)来说，f′(1)，f′(2)与f′(x)有什么区别与联系？
提示 f′(x)是函数f(x)的导函数，f′(1)，f′(2)是导函数f′(x)在x＝1，x＝2处的导数值．
例2 求函数f(x)＝eq \f(1,\r(6,x5))在x＝1处的导数．
解 ∵f(x)＝eq \f(1,\r(6,x5))＝，
∴f′(x)＝，
∴f′(1)＝－eq \f(5,6).
反思感悟 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．
跟踪训练2 (1)已知f(x)＝ln x，则f′(e)的值为 ．
答案 eq \f(1,e)
解析 ∵f′(x)＝eq \f(1,x)，∴f′(e)＝eq \f(1,e).
(2)已知函数f(x)＝eq \f(1,x)在x＝a处的导数为－2，则实数a的值是 ．
答案 ±eq \f(\r(2),2)
解析 f′(x)＝－eq \f(1,x2)，当x＝a时，f′(a)＝－eq \f(1,a2)＝－2，
即a＝±eq \f(\r(2),2).
三、导数公式的应用
例3 已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解 ∵y′＝eq \f(1,x)，
∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
延伸探究
1．已知y＝kx＋1是曲线y＝f(x)＝ln x的一条切线，则k＝ .
答案 eq \f(1,e2)
解析 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f′(x0)＝eq \f(1,x0)＝k，又y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得y0＝2，x0＝e2，所以k＝eq \f(1,e2).
2．求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．
解 设切点为Q(x0，y0)，
则切线的斜率k＝eq \f(1,x0).
又切线的斜率k＝eq \f(y0－0,x0－0)＝eq \f(ln x0,x0)，
∴eq \f(ln x0,x0)＝eq \f(1,x0)，即x0＝e，
∴Q(e,1)，
∴k＝eq \f(1,e)，
∴切线方程为y－1＝eq \f(1,e)(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3 (1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16
答案 A
解析 因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 ．
答案 －1
解析 设切点为(x0，ln x0)，
由y＝ln x得y′＝eq \f(1,x).
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
所以eq \f(1,x0)＝1，
即x0＝1，
所以切点为(1,0)．
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
1．知识清单：
(1)常用函数的导数．
(2)基本初等函数的导数公式及应用．
(3)利用导数研究曲线的切线方程．
2．方法归纳：方程思想、待定系数法．
3．常见误区：不化简成基本初等函数．
1．(多选)下列选项正确的是( )
A．y＝ln 2，则y′＝eq \f(1,2)
B．f(x)＝eq \f(1,x2)，则f′(3)＝－eq \f(2,27)
C．y＝2x，则y′＝2xln 2
D．y＝lg2x，则y′＝eq \f(1,xln 2)
答案 BCD
解析 对于A，y′＝0，故A错；
对于B，∵f′(x)＝－eq \f(2,x3)，∴f′(3)＝－eq \f(2,27)，故B正确；
显然C，D正确．
2．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)等于( )
A．8 B．12 C．8ln 3 D．0
答案 D
解析 f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，
所以f′(x)＝0.所以f′(2)＝0.
3．已知f(x)＝eq \r(x)，则f′(8)等于( )
A．0 B．2eq \r(2) C.eq \f(\r(2),8) D．－1
答案 C
解析 f(x)＝eq \r(x)，得f′(x)＝，
∴f′(8)＝eq \f(1,2)×＝eq \f(\r(2),8).
4．曲线y＝eq \f(9,x)在点M(3,3)处的切线方程是 ．
答案 x＋y－6＝0
解析 ∵y′＝－eq \f(9,x2)，
∴k＝－1，
∴在点(3,3)处斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，
即x＋y－6＝0.
课时对点练
1．下列求导运算正确的是( )
A．(cs x)′＝－sin x B．(x3)′＝x3ln x
C．(ex)′＝xex－1 D．(ln x)′＝eq \f(1,xln 10)
答案 A
2．函数y＝3x在x＝2处的导数为( )
A．9 B．6 C．9ln 3 D．6ln 3
答案 C
解析 y′＝(3x)′＝3xln 3，故所求导数为9ln 3.
3．已知函数f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案 A
解析 ∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
4．若函数f(x)＝cs x，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为( )
A．0 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 f′(x)＝－sin x，
所以f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－sin eq \f(π,4)＋cs eq \f(π,4)＝0.
5．(多选)下列各式中正确的是( )
A．(x7)′＝7x6 B．(x－1)′＝x－2
C．(eq \r(5,x2))′＝ D．(cs 2)′＝－sin 2
答案 AC
解析 ∵B项，(x－1)′＝－x－2；
D项，(cs 2)′＝0.
∴BD错误．
6．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1) D．(1，－1)
答案 BC
解析 y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
7．若曲线y＝eq \r(x)在点P(a，eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是 ．
答案 4
解析 因为y′＝eq \f(1,2\r(x))，
所以切线方程为y－eq \r(a)＝eq \f(1,2\r(a))(x－a)，
令x＝0，得y＝eq \f(\r(a),2)，
令y＝0，得x＝－a，
由题意知eq \f(1,2)·eq \f(\r(a),2)·a＝2，所以a＝4.
8．设函数y＝f(x)是一次函数，若f(1)＝－1，且f′(2)＝－4，则f(x)＝ .
答案 －4x＋3
解析 ∵y＝f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(1)＝a＋b＝－1，又f′(2)＝a＝－4.
∴a＝－4，b＝3，∴f(x)＝－4x＋3.
9．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
解 如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．
则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，其导数y′＝(ex)′＝ex，
所以＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为eq \f(\r(2),2).
10．已知抛物线y＝x2，求过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．
解 设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，y0)，则直线方程为y＋2＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
因为y′＝2x，所以k＝2x0，
又点(x0，y0)在切线上，
所以xeq \\al(2,0)＋2＝2x0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,2)))，
解得x0＝1或x0＝－2，则k＝2或k＝－4，
所以直线方程为y＋2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))或
y＋2＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))，
即2x－y－1＝0或4x＋y＋4＝0.
11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于( )
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案 C
解析 由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝－1得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝1，故选C.
12．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于( )
A．－4 B．3 C．－2 D．1
答案 D
解析 由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，0))，与y轴交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))，
则l：x＋y＝4，∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2))＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.
13．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
答案 D
解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.
因为A项中，(ex)′＝ex>0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x>0，即(ln x)′＝eq \f(1,x)>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝ .
答案 cs x
解析 由已知得，f1(x)＝cs x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cs x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cs x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 021(x)＝f1(x)＝cs x.
15．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是 ．
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq \\al(2,k))处的切线方程为y－aeq \\al(2,k)＝2ak(x－ak)．
又该切线与x轴的交点坐标为(ak＋1,0)，
∴ak＋1＝eq \f(1,2)ak，即数列{ak}是首项为a1＝16，公比为q＝eq \f(1,2)的等比数列，
∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
16．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，求a1＋a2＋…＋a99的值．
解 导函数y′＝(n＋1)xn，切线斜率k＝n＋1，所以切线方程为y＝(n＋1)x－n，可求得切线与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,n＋1)，0))，则an＝lg eq \f(n,n＋1)＝lg n－lg(n＋1)，所以a1＋a2＋…＋a99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋(lg 99－lg 100)＝lg 1－lg 100＝－2.
相关学案
高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算导学案： 这是一份高中人教A版 (2019)5.2 导数的运算导学案，共3页。学案主要包含了学习目标，问题探究，小结提升，典例分析，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案： 这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案，共10页。学案主要包含了复合函数概念的理解，求复合函数的导数，复合函数的导数的应用等内容，欢迎下载使用。
高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时学案： 这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时学案，共12页。学案主要包含了函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的单调区间，由导数的信息画函数的大致图象等内容，欢迎下载使用。
