高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算导学案，共10页。学案主要包含了复合函数概念的理解，求复合函数的导数，复合函数的导数的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．
一、复合函数概念的理解
问题1 函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？
提示 y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数．
知识梳理
复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．
例1 (多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
答案 BCD
解析 A不是复合函数；BCD都是复合函数．
反思感悟 若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数，而f(x)，g(x)不是复合函数．
跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数( )
A．y＝lg2(2x＋1) B．y＝2x2－eq \f(1,x)
C．y＝2ln x D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,6)))
答案 ACD
二、求复合函数的导数
问题2 如何求函数y＝sin 2x的导数？
提示 y＝2sin xcs x，由两个函数相乘的求导法则可知：y′＝2cs2x－2sin2x＝2cs 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y′＝cs u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u′＝2，发现y′x＝y′u·u′x.
知识梳理
复合函数的求导法则
一般地，我们有，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,1－3x4)；
(2)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))；
(3)y＝lg2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
解 (1)令u＝1－3x，则y＝eq \f(1,u4)＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝eq \f(12,1－3x5).
(2)令u＝2x＋eq \f(π,3)，则y＝cs u，所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
(3)设y＝lg2u，u＝2x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝eq \f(2,uln 2)＝eq \f(2,2x＋1ln 2).
(4)设y＝eu，u＝3x＋2，
则y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
反思感悟 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝eq \f(1,\r(1－2x))；
(2)y＝5lg2(1－x)；
(3)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
解 (1)y＝，
设y＝，u＝1－2x，
则y′x＝
＝
＝.
(2)函数y＝5lg2(1－x)可看作函数y＝5lg2u和u＝1－x的复合函数，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(lg2u)′·(1－x)′
＝eq \f(－5,uln 2)＝eq \f(5,x－1ln 2).
(3) 设y＝sin u，u＝4x＋eq \f(π,6)，
则y′x＝(sin u)′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))′＝cs u·4＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
三、复合函数的导数的应用
例3 已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝eq \f(1,4)相切，求a的值．
解 ∵f′(x)＝a(x2)′＋2·eq \f(1,2－x)·(2－x)′
＝2ax－eq \f(2,2－x)，
∴f′(1)＝2a－2，又f(1)＝a＋2ln 1＝a，
∴切线l的方程为y－a＝2(a－1)(x－1)，
即2(a－1)x－y－a＋2＝0.
∵直线l与圆C：x2＋y2＝eq \f(1,4)相切，
∴圆心(0,0)到直线l的距离为eq \f(1,2)，
∴eq \f(|2－a|,\r(4a－12＋1))＝eq \f(1,2)，解得a＝eq \f(11,8).
反思感悟 正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．
跟踪训练3 曲线y＝f(x)＝e2x·cs 3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为eq \r(5)，求直线l的方程．
解 y＝e2x·cs 3x的导数为y′＝2e2x·cs 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cs 3x－3sin 3x)．曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cs 0－3sin 0)＝2，
则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，
设直线l：y＝2x＋t，由d＝eq \f(|t－1|,\r(1＋4))＝eq \r(5)，
解得t＝6或－4.
则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
1.知识清单：
(1)复合函数的概念．
(2)复合函数的求导法则．
(3)复合函数的导数的应用．
2.方法归纳：转化法．
3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．
1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D. t＝x2－1, y＝tn
答案 AD
2．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D．1
答案 B
解析 求导得f′(x)＝eq \f(a,ax－1)，则f′(2)＝eq \f(a,2a－1)＝2，解得a＝eq \f(2,3).
3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于( )
A．1 B.eq \f(3,2) C．－1 D．－2
答案 B
解析 f′(x)＝eq \f(3,3x＋2)－6x，故f′(0)＝eq \f(3,2)－0＝eq \f(3,2).
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 2
解析 易知y′＝aeax，k＝ae0＝a，
故a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1，则a＝2.
课时对点练
1．(多选)下列函数是复合函数的是( )
A．y＝－x3－eq \f(1,x)＋1 B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))
C．y＝eq \f(1,ln x) D．y＝(2x＋3)4
答案 BCD
解析 A不是复合函数，B，C，D均是复合函数，
其中B由y＝cs u，u＝x＋eq \f(π,4)复合而成；
C由y＝eq \f(1,u)，u＝ln x复合而成；
D由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．
2．设f(x)＝lg3(x－1)，则f′(2)等于( )
A．ln 3 B．－ln 3 C.eq \f(1,ln 3) D．－eq \f(1,ln 3)
答案 C
解析 f′(x)＝eq \f(1,x－1ln 3)，故f′(2)＝eq \f(1,ln 3).
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－eq \f(x,2x＋5) B．ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5)
C．2xln(2x＋5) D.eq \f(x,2x＋5)
答案 B
解析 ∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋eq \f(2x,2x＋5).
4．函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案 A
解析 y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．
5．曲线y＝2xex－2在点(2,4)处切线的斜率等于( )
A．2e B．e C．6 D．2
答案 C
解析 ∵y＝2xex－2，∴y′＝2ex－2＋2xex－2，
∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.
6．(多选)下列结论中不正确的是( )
A．若y＝cs eq \f(1,x)，则y′＝－eq \f(1,x)sin eq \f(1,x)
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcs x2
C．若y＝cs 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝xsin 2x
答案 ACD
解析 对于A，y＝cs eq \f(1,x)，则y′＝eq \f(1,x2)sin eq \f(1,x)，故错误；
对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcs x2，故正确；
对于C，y＝cs 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；
对于D，y＝eq \f(1,2)xsin 2x，则y′＝eq \f(1,2)sin 2x＋xcs 2x，故错误．
7．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为________．
答案 1
解析 因为f′(x)＝ln x＋1.
所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln x0＋1＋x0ln x0＝1.
解得x0＝1.
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
答案 2
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又曲线的导数为y′＝eq \f(1,x＋a)，
∴k＝eq \f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
9．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝eq \f(1,\r(1－x2))；
(4)y＝sin 2xcs 3x.
解 (1)令u＝ex＋x2，
则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝eq \f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq \f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq \f(ex＋2x,ex＋x2).
(2)令u＝2x＋3，
则y＝10u，
∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2ln 10·102x＋3.
(3)设y＝，u＝1－x2，
则y′x＝
(4)∵y＝sin 2xcs 3x，
∴y′＝(sin 2x)′cs 3x＋sin 2x(cs 3x)′
＝2cs 2xcs 3x－3sin 2xsin 3x.
10．曲线y＝e2x＋1在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq \r(5)，求直线l的方程．
解 因为y＝e2x＋1，所以y′＝2e2x＋1，所以k＝2，故曲线在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，设直线l的方程为2x－y＋m＝0(m≠2)，由eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m－2)),\r(5))＝eq \r(5)得，m＝7或－3，所以直线l的方程为2x－y＋7＝0或2x－y－3＝0.
11．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D．1
答案 A
解析 依题意得
y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
k＝－2e－2×0＝－2.
所以曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0与y＝x的图象，如图所示．
因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，
直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，
所以结合图象可得，
这三条直线所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
12．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5) C．3eq \r(5) D．0
答案 A
解析 设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝eq \f(2,2x－1)，
∴k＝eq \f(2,2x0－1)＝2，
解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq \f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq \r(5)，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq \r(5).
13．(多选)已知点P在曲线y＝eq \f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2) C.eq \f(3π,4) D. eq \f(7π,8)
答案 CD
解析 因为y＝eq \f(4,ex＋1)，
所以y′＝eq \f(－4ex,ex＋12)＝eq \f(－4ex,e2x＋2ex＋1)＝eq \f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2).
因为ex>0，
所以ex＋eq \f(1,ex)≥2(当且仅当x＝0时取等号)，
所以y′∈[－1,0)，
所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
14．设函数f(x)＝cs(eq \r(3)x＋φ)(0