高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第一册 第5章　导数及其应用 习题课　导数中的函数构造问题学案

这是一份高中数学苏教版（2019 ）选择性必修第一册 第5章　导数及其应用 习题课　导数中的函数构造问题学案，共15页。
习题课　导数中的函数构造问题学习目标　1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题．一、利用f(x)与x构造例1　已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)(x－1)f(x2－1)的解集是(　　)A．(0,1) B．(2，＋∞)C．(1,2) D．(1，＋∞)答案　B解析　构造函数y＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则y′＝f(x)＋xf′(x)(x－1)f(x2－1)，所以(x＋1)f(x＋1)>(x2－1)f(x2－1)，所以x＋10，x＋1>0，解得x>2或x(x－1)f(x2－1)的解集是(2，＋∞)．延伸探究　把本例中的条件“f(x)(2x＋1)f(x2＋1)得，eq \f(f2x＋1,2x＋1)>eq \f(fx2＋1,x2＋1)，即g(2x＋1)>g(x2＋1)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋1>0，,2x＋1>x2＋1，))解得0g′(x)，构造h(x)＝f(x)－g(x)．(2)对于f′(x)＋g′(x)>0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)．(3)对于f′(x)>a，构造h(x)＝f(x)－ax.(4)对于xf′(x)＋f(x)>0，构造h(x)＝xf(x)．(5)对于xf′(x)－f(x)>0，构造h(x)＝eq \f(fx,x).跟踪训练1　已知函数f(x)＝xln x＋x(x－a)2(a∈R)．若存在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得f(x)>xf′(x)成立，则实数a的取值范围是(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C．(eq \r(2)，＋∞) D．(3，＋∞)答案　C解析　由f(x)>xf′(x)成立，可得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,x)))′＝eq \f(xf′x－fx,x2)eq \r(2).二、利用f(x)与ex构造例2　已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f′(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)＋f′(x)>0，则(　　)A．e－2 021f(－2 021)f(0)B．e－2 021f(－2 021)f(0)D．e－2 021f(－2 021)>f(0)，e2 021f(2 021)0，所以函数h(x)在R上是增函数，故h(－2 021)0”换为“f′(x)>f(x)”，比较e2 021f(－2 021)和f(0)的大小．解　令g(x)＝eq \f(fx,ex)，则g′(x)＝eq \f(f′x－fx,ex)，因为对任意的x∈R，都有f′(x)>f(x)，所以g′(x)>0，即g(x)在R上是增函数，所以h(－2 021)0，构造函数h(x)＝f(x)cos x.(4)对于f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，构造函数h(x)＝eq \f(fx,cos x).跟踪训练3　已知函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，函数y＝f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f′(x)sin x>f(x)cos x(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))>－eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))B.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))D.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))f(x)cos x，得f′(x)·sin x－f(x)cos x>0，即eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,sin x)))′>0，所以y＝eq \f(fx,sin x)在(0，π)上是增函数，又因为y＝eq \f(fx,sin x)为偶函数，所以y＝eq \f(fx,sin x)在(－π，0)上是减函数，所以eq \f(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))),sin \f(π,3))2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3))).1．知识清单：(1)几种常见的构造形式．(2)掌握由导函数的结构形式构造原函数．2．方法归纳：构造法．3．常见误区：不能正确构造出符合题意的函数．1．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a