专题16三角形及全等三角形（共40题）-2021年中考数学真题分项汇编（原卷版+解析版）【全国通用】

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2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）
专题16三角形及全等三角形（共40题）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、单选题
1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】
根据相关概念逐项分析即可．
【详解】
A、五边形的内角和是，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．
2．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，在中，，平分，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，再根据角平分线的定义得到∠ABC=∠BCD，再利用三角形外角的性质计算即可．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵CB平分∠DCE，
∴∠BCE=∠BCD，
∴∠BCE=∠ABC，
∵∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，
∴∠ABC=20°，
故选B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．
3．（2021·陕西中考真题）如图，点D、E分别在线段、上，连接、．若，，，则的大小为（ ）

A．60° B．70° C．75° D．85°
【答案】B
【分析】
由题意易得，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】
解：∵，，
∴在Rt△BEC中，由三角形内角和可得，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键．
4．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知直线、、两两相交，且．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得，再根据三角形外角的性质即可求得．
【详解】

∵，
∴∠2=90°；
∵，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键．
5．（2021·安徽中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（ ）


A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
由图可得
∵，
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键．
6．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【详解】
解：连接BD，∵∠BCD=100°，
∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，
故选D．

【点睛】
本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．



下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【分析】
根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
【详解】
解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．
故选择：
【点睛】
本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．
8．（2021·四川泸州市·中考真题）在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：（其中R为ABC的外接圆半径）成立．在ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
方法一：先求出∠C，根据题目所给的定理， , 利用圆的面积公式S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，由三角形内角和可求∠C=60°，由圆周角定理可求∠AOB=2∠C=120°，由等腰三角形性质，∠OAB=∠OBA=，由垂径定理可求AD=BD=，利用三角函数可求OA=，利用圆的面积公式S圆=．
【详解】
解:方法一：∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
有题意可知，
∴，
∴S圆=．
方法二：设△ABC的外心为O，连结OA，OB，过O作OD⊥AB于D，
∵∠A=75°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=，
∵OD⊥AB，AB为弦，
∴AD=BD=，
∴AD=OAcos30°，
∴OA=，
∴S圆=．
故答案为A．

【点睛】
本题考查三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式，掌握三角形的外接圆，三角形内角和，圆周角定理，等腰三角形性质，垂径定理，锐角三角函数，圆的面积公式是解题关键．
9．（2021·重庆中考真题）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．
【详解】
选项A，添加，
在和中，
，
∴≌（ASA），
选项B，添加，
在和中，，，，无法证明≌；
选项C，添加，
在和中，
，
∴≌（SAS）；
选项D，添加，
在和中，
，
∴≌（AAS）；
综上，只有选项B符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
10．（2021·重庆中考真题）如图，点B，F，C，E共线，∠B=∠E，BF=EC，添加一个条件，不等判断△ABC≌△DEF的是（ ）

A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．
【详解】
解：BF=EC，

A. 添加一个条件AB=DE，
又

故A不符合题意；
B. 添加一个条件∠A=∠D
又

故B不符合题意；
C. 添加一个条件AC=DF ，不能判断△ABC≌△DEF ，故C符合题意；
D. 添加一个条件AC∥FD

又

故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【分析】
此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．
【详解】
解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF;
又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；
由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；
又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．

故选：
【点睛】
本题主要考察学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．
12．（2021·四川遂宁市·中考真题）下列说法正确的是（　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．在代数式，，，，，中，，，是分式
D．若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是4
【答案】A
【分析】
根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断即可．
【详解】
解：A.角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确；
B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C.在代数式，，，，，中，，是分式，故选项错误；
D.若一组数据2、3、x、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
13．（2021·湖南娄底市·中考真题）是某三角形三边的长，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
【答案】D
【分析】
先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】
解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
14．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，直线，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．
【详解】

首先根据三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6=∠7=45°；
A、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；
B、∵∠7=45°，m∥n，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；
C、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；
D、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
15．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，已知直线，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】
解：如图，

∵，
∴∠4=∠1=40°，
∵，
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
16．（2021·海南中考真题）如图，已知，直线与直线分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得直线是线段AB的垂直平分线，进而可得，利用平行线的性质及等腰三角形中等边对等角，可得，所以可求得．
【详解】
∵已知分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线b于点C，连接，
∴直线垂直平分线段AB，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
题目主要考查线段垂直平分线的作法及性质、平行线的性质等，根据题意得出直线垂直平分线段AB是解题关键．
17．（2021·四川广元市·中考真题）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线画法逐一进行判断即可．
【详解】
：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【点睛】
本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解题切入点．

二、填空题
18．（2021·河北中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应___________（填“增加”或“减少”）___________度．

【答案】减少 10
【分析】
先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】
解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．

【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
19．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图．在中，，．若，则______．

【答案】54°
【分析】
首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
【详解】
∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，
∴ ∠A=36°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=180°-∠A-∠C=54°．
故答案为：54°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
20．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．

【答案】36
【分析】
根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵正五角星（是正五边形的五个顶点）
∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且

∴正五边形内角和为：
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
21．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______．

【答案】
【分析】
连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可．
【详解】
解：连接ED

是的中线，
，


设，






与是等高三角形，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
22．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是 _____ ．

【答案】12．
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵直线DE垂直平分BC，
∴，
∴△ABD的周长，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
23．（2021·云南中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为__________．

【答案】3或或或
【分析】
将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答．
【详解】
解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，
如图，若∠ABC=90°，
则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
当AB=BC=6，
则DF=BC=3；
当AC=6，
则AB=BC==，
∴DF=BC=；

如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，
又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，
∴△BAD≌△BFD（AAS），
∴AB=BF，
当AB=AC=6，
则BC=，
∴BF=6，CF=，
在正方形ABEC中，∠ACB=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=；
当BC=6，
则AB=AC==，
同理可得：，

综上：点D到直线AB的距离为：3或或或，
故答案为：3或或或．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答．
24．（2021·广西柳州市·中考真题）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是________．（写出一个即可）
【答案】5（答案不唯一）
【分析】
根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可．
【详解】
解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，
整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键．
25．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点D．若点D到的距离为1，则的长为_______．

【答案】
【分析】
过点D作于点E，由尺规作图AD平分，可求，然后证明∠EDB=∠B，可得DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理得出， 即可得出答案．
【详解】
解:过点D作于点E，
由作图步骤知，AD平分，
，点D到的距离为1，

∵
∴∠B=∠CAB=45°，
∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，
∴DE=BE=1，
在Rt△DEB中，由勾股定理
∴BC=DC+BD=1+．
故答案为1+．

【点睛】
本题考查角平分线尺规作图，角平分线性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，掌握角平分线尺规作图，角平分线性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理是解题关键．

三、解答题
26．（2021·陕西中考真题）如图，，，点在上，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】
由题意易得，进而可证，然后问题可求证．
【详解】
证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
27．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证：．

【答案】见解析
【分析】
根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用ASA证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】
证明：点A，B，C，D，E在一条直线上
∵
∴
在与中

∴
【点睛】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
28．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知，，与相交于点，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】
根据全等三角形的性质，通过证明，得，结合等腰三角形的性质，即可得到答案．
【详解】
∵，
∴（AAS），
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
29．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE

【答案】证明见详解．
【分析】
根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论.
【详解】
证明：在△ABE和△ACD中，
∵,
△ABE≌△ACD (ASA)，
∴AE=AD，
∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
30．（2021·云南中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：．

【答案】见解析
【分析】
直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明．
【详解】
解：在△ACD和△BDC中，
，
∴△ACD≌△BDC（SSS），
∴∠DAC=∠CBD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法．
31．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；
（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】
证明：（1）∵四边形是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中

∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE

∵四边形是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形是菱形
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．
32．（2021·江苏连云港市·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；

（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；

（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；
【分析】
（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可；
（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长．
【详解】
解:（1）∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又点在处时，，点在A处时，点与重合．
∴点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，

∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又点在处时，，点在处时，点与重合，
∴点所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理即，
∴，
点G所经过的路径长为长=，
点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动，
点H所经过的路径长为的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，
∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为的长=，
故答案为；．

【点睛
本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．
33．（2021·四川乐山市·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．

（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________；
（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．
①在图2中补全图形；
②探究与的数量关系，并证明；
（3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明．
【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析
【分析】
（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可
（2）①按要求补全图即可
②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出
（3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明
【详解】
解：（1）∵，
∴△ABC是等边三角形
∴∠B=60°
∵点关于直线的对称点为点
∴AB⊥DE，
∴
故答案为：；
（2）①补全图如图2所示；

②与的数量关系为：；
证明：∵，．
∴为正三角形，
又∵绕点顺时针旋转，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）连接．

∵，，∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．∵，∴，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点
34．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF．
（1）求证：；
（2）如图2，若，，，求BE的长；
（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值．


【答案】（1）见解析；（2）6；（3）
【分析】
（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；
（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值．
【详解】
（1）证明：，
；
，
，，
，
，，
，，
，，
四边形AFCD是平行四边形


在与中．
，


（2），
，
在中，，
，
，
又，，
，
在与中．
，
；
；
，
；
，
；
，
，
或（舍）；
（3）延长BM、ED交于点G．


与均为等腰三角形，，
，
，
设，，，
则，，
，
，
；
在与中，
，
；
．
；
，
，
，
，
，
，
，
，
（舍），，
．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．
35．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且．请用尺规完成基本作图：作出的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见解析，猜想：DF=3BF，证明见解析．
【分析】
根据角平分线的作法作出的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出.,由AC=2AB得出AO=AB，由等腰三角形的性质得出，从而可得出结论．
【详解】
解：如图，AE即为的角平分线，

猜想：DF=3BF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO=CO，BO=DO
∴
∵AC=2AB
∴AO=AB
∵AE是的角平分线
∴
∴
∴．
【点睛】
此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
36．（2021·浙江温州市·中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．

（1）求证：．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【分析】
（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．

【详解】
解：（1）平分，
．
，
，
，
．
（2），，
．
．
．
平分，
，
即．
【点睛】
本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
37．（2021·江苏无锡市·中考真题）已知：如图，，相交于点O，，．

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）根据AAS，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得OB=OC，进而即可得到结论．
【详解】
证明：（1）在与中，
∵，
∴（AAS）；
（2）∵，
∴OB=OC，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质，掌握AAS判定三角形全等，是解题的关键．
38．（2021·福建中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．

【答案】见解析
【分析】
由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可．
【详解】
证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
【点睛】
本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．
39．（2021·四川南充市·中考真题）如图，，AD是内部一条射线，若，于点E，于点F．求证：．

【答案】见详解
【分析】
根据AAS证明△BAE≌△ACF，即可得．
【详解】
证明：∵，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
40．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结．

（1）如图1，若，求的长．
（2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：．
（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，
【分析】
（1）先解直角三角形ABC得出，从而得出是等边三角形，再解直角三角形ACP即可求出AC的长，进而得出BC的长；
（2）连结，先利用AAS证出，得出AE=2PE，AC=DE，再得出是等边三角形，然后由SAS得出，得出AE=BC即可得出结论；
（3）过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，由（2）得AE=2AP，DE=AC，再证明，从而得出得出DE=BE，然后利用勾股定理即可得出m的值．
【详解】
（1）解 ，
，
，
，
是等边三角形，

是的中点，
，
在中，，
，
．
（2）证明：连结，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
是等边三角形，

，
，
又，
，
，
．

（3）存在这样的．
过点作，交延长线于点，连接BE，过C作CG⊥AB于G，过E作EN⊥AB于N，则，
，
由（2）得AE=2AP，DE=AC，
∴CG=EN，
∵，
∴AE=BC，
∵∠ANE=∠BGC=90°，
，
∴∠EAN=∠CBG
∵AE=BC，AB=BA，
∴
∴AC=BE，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD=45°，
∴∠DEB=90°，
∴，
∵
∴

【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．