第14讲  工程问题（一）

【学习目标】

1、掌握工程问题一般解题方法。

2、通过工程问题的学习，复习分数、百分数应用题的解题方法。

3、掌握“组合法”解工程问题的技巧。

工程问题的基本概念

工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，

工作效率=工作总量÷工作时间，

工作时间=工作总量÷工作效率；

【温故知新】

基本数量关系

1、一项工程，甲独做需要28天，乙独做需要21天；甲、乙合作需要    天。

2、一项工程，甲单独做需要30天，甲、乙合作需要12天，如果乙单独做需要______天。

【答案】1、12           2、20

例题1：一项工程，甲队独做要10天完成，乙队独做要15天完成。

（1）甲乙合作，几天完成？

（2）甲乙合作，几天完成全工程的？

（3）甲先独做4天，剩下的由乙来做，还需几天？

（4）甲乙合作若干天后，乙因事请假，甲又独做了4天完成，问甲乙合作了几天？

【答案】（1）6天      （2）4天 

（3）天  

（4）3.6天

举一反三1：

修一段公路，甲队单独修需要20天，乙队单独修需要30天，丙队单独修需要15天。如果甲、乙两队合作完成需要多少天？如果3队合作完成，需要多少天？

【答案】甲乙合作12天，三队合作需要天。

“组合法”解工程问题

例题2:一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？

【答案】已知甲、乙两队的工作效率和是，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑。可以求出甲队2天的工作量所以甲队工作效率：

，乙队独坐需： （天）

举一反三2：

1、师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？

2、某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

【答案】1、    （天）

2、“这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天”可以转化成“这项工程由甲、乙队合做2天后，再由乙队独做1天”

乙效：，甲效：，

甲独做需要：（天）

乙独做需要：（天）

例3：一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满。现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满。乙单独开几小时可以灌满？

【答案】先开乙管6小时，甲丙同时开2小时看成：甲乙合开2小时，乙丙合开2小时，乙单独再开2小时。则乙单独需要时间为：（小时）

举一反三3：

1、一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？

2、一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？

【答案】1、将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。

甲每小时完成这项工程的几分之几：

丙每小时完成这项工程的几分之几：

甲、丙合做需完成的时间为：（小时）

2、 （天）

例4：师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的，徒弟每小时加工自己任务的。师、徒同时开始加工，师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？

【答案】（小时）

举一反三4：

1、有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？

2、甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的，乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？

【答案】1、（小时），

甲帮助乙：（小时）

甲帮助丙：8-6=2（小时）

2、解法一：12×（÷）÷（1－）＝240个

解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个

小结：

【巩固练习】

一、选择。

1、三个人加工3个零件要3分钟，他们加工100个零件要（      ）分钟。

A、1            B、3       C、100       D、900

2、修一条水渠，计划每天修80米，20天可以完成，如果要提前4天完成，那么每天要比计划多修（       ）米。

A、20         B、60            C、64          D、100

二、解决问题。

1、一项工程，甲独做需要15天完成，乙独做需要10天完成，两人合做几天可完成这项工程的？ 

2、单独完成一项工程，甲队要24天，乙队要30天。现在甲乙两队合作4天后，丙队参加进来，又经过7天完成全部工程。如果一开始三队就一起工作，多少天可以完成全部的工程？                                       

3、有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天。现让三个队合修，但中间甲队撤离到另外工地，结果一共用了6天把这条公路修完。当甲队撤出后，乙、丙两队又共修了几天才完成？

4、有A、B两个同样的仓库。搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲丙在A仓库，乙在B仓库同时搬运。中途丙又转向帮助乙搬运，最后，同时搬完两个仓库里的货物。丙帮甲搬了几小时？

5、灌满一个水池的水，如果同时打开①②③号阀门15小时可以灌满；如果同时开放①③⑤号阀门，10小时可以灌满；如果同时开放①③④号阀门，12小时可以灌满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以灌满。问：同时开放这五个阀门几小时可以灌满这个水池？

※6、一项工程，由甲先做 a 小时后甲、乙二人合作，完成时甲做了这项工程的；如果由乙先做 a 小时后甲、乙二人合作，完成时甲能做这项工程的，这项工程由甲独做需 20 小时完成，由甲、乙二人同时开工合作需几小时完成？

【答案】一、选择

1、C             2、A         

二、解决问题

1、（天）

2、丙的效率：，（天）。

3、（天）。

4、（小时）；（小时）

5、①+②+③=；

①+③+⑤=；

①+③+④=；

②+④+⑤=；

由此知：3（①+②+③+④+⑤）=   小时

6、甲做a小时，乙做a小时看成甲乙合作。于是合作时：

甲完成了，乙完成了，甲乙的效率比为3:2.

乙的效率：，甲乙同时开工需要用时：（小时）

：                                                        

                                              。