2021年重庆市江北区中考数学模拟试卷 - 含答案

这是一份2021年重庆市江北区中考数学模拟试卷 - 含答案，共22页。试卷主要包含了下列运算正确的是，估计的值应在，下列命题等内容，欢迎下载使用。
2021年重庆市江北区中考数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．在四个数0，﹣2，﹣3，2中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣2 C．﹣3 D．2
2．如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（　　）

A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．（a﹣b）2＝a2+2ab+b2 B．a3▪a3＝2a3
C．（ab2）2＝a4b4 D．（a2）3＝a6
4．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第8个图案中共有圆点的个数是（　　）

A．34 B．40 C．49 D．59
5．如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
6．估计的值应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．若一个正多边形的每一个外角都等于40°，则这个正多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方；②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在△ABC与△A'B'C'中，，∠A＝∠A'，那么△ABC∽△A'B'C'；④已知△ABC及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形与△ABC位似，使位似比为2．其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（　　）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）

A．11.1米 B．11.8米 C．12.0米 D．12.6米
10．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a；且关于y的分式方程＝1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（　　）
A．28 B．﹣14 C．7 D．﹣56
11．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是（　　）
①甲乙两地的距离为450千米；②轿车的速度为90千米/小时；③货车的速度为60千米/小时；④点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．

A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
12．如图，反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，OC：OA＝2：5，若直线y＝kx+3（k≠0）平分矩形OABC面积，则k的值为（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．人的血管首尾相连的长度大约可达96000千米，96000千米用科学记数法表示为　 　米．
14．我市某天上午的气温为﹣2℃，中午上升了6℃，下午受冷空气的影响，到夜间温度下降了9℃，则这天夜间的气温为　 　．
15．从3，﹣2，5这三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为　 　．
16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝8，则图中阴影部分的面积为
　 　．

17．如图，把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，∠DFG＝68°，则∠BEF的度数为　 　°．

18．学校为美化春藤校园，计划购买梧桐树、香樟树、樱花树三种树苗，已知三种树苗单价之和为100元，计划购买三种树苗总量不超过148株；其中香樟树苗单价为30元，计划购进48株，樱花树苗至少购买25株，梧桐树苗数量不少于樱花树苗的2倍．小明在做预算时，误将梧桐树苗和樱花树苗的单价弄反了，结果实际购买三种树苗时的总价比预算多了112元，若三种树苗的单价均为整数，则学校实际购买这三种树苗最多需要花费　 　元．
三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．（10分）化简：
（1）（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）；
（2）÷（﹣a+1）．
20．（10分）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M．
（1）尺规作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）
（2）求证：AE＝CF．

21．（10分）重庆市第八中学校经历多年研发，结合“素质教育与应试教育”、“本地课堂与全球化校园”而形成的浸入式全英语教学“三创”ICEE课程，已经在初2022级启动．国外专业教师与国内双语教师共同执教，通过以任务为导向、以内容为基础的课程设计，拓宽学生的视野，提高学生的英语交流能力和应用能力，培育学生跨文化交流能力，全面提高学生学科知识水平和综合能力，培养学生的“创新意识、创造能力和创业思维”．经过半学期的学习，我们从“三创”学生中随机抽取男女学生各20名，对“创新意识、创造能力和创业思维”做测试．测试数据如下：
男生
男生
96
100
89
95
62
75
93
86
86
93
95
95
88
94
95
68
92
80
78
90
女生
女生
100
96
96
95
94
92
92
92
92
92
92
84
84
83
82
78
78
74
62
60
小明将“三创”男生得分按分数段（60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），绘制成频数分布直方图，“三创”女生得分绘制成扇形统计图，如图（均不完整）．

通过整理分析，统计数据如下表：

平均数
中位数
众数
方差
男生
87.5
91
a
96.15
女生
86.2
b
92
113.06
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并写出上表中a，b的值：a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为“三创”男生、女生中哪个“创新意识、创造能力和创业思维”较好？请说明理由．
（3）若得分在80分及以上为优秀，请估计初2022级200名“三创”学生中优秀的人数有多少？
22．（10分）设函数y＝k1x+，且k1•k2≠0，自变量x与函数值y满足以下表格：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
﹣1
0
1
m
n
…
（1）根据表格直接写出y与x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）补全上面表格：m＝　 　，n＝　 　，
在如图所示的平面直角坐标系中，请根据表格中的数据补全y与x的函数图象；
（3）结合函数图象，解决下列问题
①写出函数y的一条性质：　 　．
②当函数值y≥时，x的取值范围是　 　．

23．（10分）为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的A、B两个社区计划共种树78棵，已知A社区每天可以种植6棵树，B社区每天可以种植12棵树．
（1）由于人员调动，要求B社区种植天数至少是A社区种植天数的1倍，当种植结束时，A社区至多种植多少天？
（2）A、B两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问A社区最多种植天数基础上，B社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，A社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中A社区最多天数多5a%；B社区每天种植棵数下降a%，种植天数比（1）问中B社区最少种天数多（a+30）%，求a的值．
24．（10分）阅读理解题
问题提出：
如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个幸福数．我们按照从小到大的顺序把“3，5，7，8，…，m，…”这些幸福数进行排列，依次记为：第1个幸福数3，第2个幸福数5，第3个幸福数7，第4个幸福数8，…，第n个幸福数m．现在需要探究出一种判断一个较大的数是否是幸福数的方法；以及如何求出第n个幸福数m的值．
实践探究：
小明的方法是：在正整数中，从1开始采取从小到大逐个排查的办法一个一个找出来：
3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，
8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52
…
（1）请将第10个幸福数仿照小明的方法用等式表示出来：　 　；
小颖认为小明的方法太麻烦，她想到：
设k是正整数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
所以，除1外，所有的奇数都是幸福数；
又因为（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是幸福数；
小颖通过上面的探索，已经证明了形如4k、4k+1、4k+3（k是正整数）的正整数都是幸福数．
（2）请证明形如4k+2（k是正整数）的数不是幸福数；
迁移应用：
（3）当n＝2021时，求m的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，OA＝2OC，AB＝5．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第一象限内抛物线上一点，连接AD、BD，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E，若d＝，求d的值；
（3）在（2）的条件下，点F在第三象限的抛物线上，点F纵坐标为﹣2，连接EF、CD，点G在线段CD上，连接EG，∠DEG+∠AEF＝90°，＝d，点P为线段OA上一点，点Q为第四象限内一点，连接PD、PQ、DQ，若AP＝PQ，tan∠BPQ＝，∠PDQ＝∠ADB，求点P的坐标．

四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
26．（8分）（1）【操作发现】
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝　 　度．

（2）【解决问题】
①如图2，在边长为的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝　 　．
（3）【拓展应用】
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．

参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．解：因为﹣3＜﹣2＜0＜2，
所以在四个数0，﹣2，﹣3，2中，最小的数是﹣3．
故选：C．
2．解：从上边看是一个六边形，中间为圆．
故选：D．
3．解：A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，所以此选项不合题意；
B．a3▪a3＝a6，所以此选项不合题意；
C．（ab2）2＝a2b4，所以此选项不合题意；
D．（a2）3＝a6，所以此选项符合题意．
故选：D．
4．解：当n＝1时，第1个图案的圆点的个数是y1＝5+2＝7个．
当n＝2时，第2个图案的圆点的个数是y2＝y1+3＝5+2+3＝10个．
当n＝3时，第3个图案的圆点的个数是y3＝y2+4＝5+2+3+4＝14个．
当n＝4时，第4个图案的圆点的个数是y4＝y3+5＝5+2+3+4+5＝19．
..．
以此类推，第n个图案的圆点的个数是yn＝5+2+3+4+...+（n+1）
＝个．
∴当n＝8时，第8个图案的圆点的个数是个．
故选：C．
5．解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
由圆周角定理得，∠A＝∠BOC＝50°，
故选：D．
6．解：∵（3﹣2）÷＝3÷﹣2＝3﹣2，
又∵＝18，16＜18＜25，42＝16，52＝25，
∴4＜＜5，
∴2＜3﹣2＜3．
故选：B．
7．解：∵360÷40＝9，
∴这个多边形的边数是9．
故选：C．
8．解：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方，是真命题；
②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比，是真命题；
③在△ABC与△A'B'C'中，，∠A＝∠A'，那么△ABC∽△A'B'C'，是真命题；
④因为已知△ABC及位似中心O，能够作2个三角形，使位似比为2，原命题是假命题；
故选：C．
9．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，
∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，
过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，
得矩形DMBG，

∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，
∴DM＝4，CM＝3，
∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，
∴HF＝DG+2＝15，
在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，
∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05，
∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．
答：铁塔AB的高度约是12.6米．
故选：D．
10．解：，
解不等式①，得：x≤a，
解不等式②，得：x≤7，
∵该不等式组的解集为x≤a，
∴a≤7，
分式方程去分母，得：y﹣a+3y﹣4＝y﹣2，，
解得：y＝，
∵分式方程有正整数解，且y≠2，
∴满足条件的整数a可以取7，1，
其积为7×1＝7，，
故选：C．
11．解：由图象可知，甲乙两地的距离为450千米，故①说法正确；
设轿车和货车的速度分别为V1千米/小时，V2千米/小时．
根据题意得3V1+3V2＝450.3V1﹣3V2＝90．解得：V1＝90，V2＝60，
故轿车和货车速度分别为90千米/小时，60千米/小时；
故②③说法正确；
轿车到达乙地的时间为450÷90＝5（小时），
此时两车间的距离为（90+60）×（5﹣3）＝300（千米），
故点C的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．故④说法正确．
所以说法正确的是①②③④．
故选：D．
12．解：∵反比例函数y＝的图象过矩形OABC的顶点B，
∴OA•OC＝10，
∵OC：OA＝2：5，
∴OC＝2，OA＝5，
∴点B（5，2）
连接OB，则OB的中点的坐标为（，1），
把（，1）代入y＝kx+3得，k＝﹣，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．解：96000千米＝96000000＝9.6×107（米）．
故答案为：9.6×107．
14．解：﹣2+6﹣9
＝4﹣9
＝﹣5（℃）
答：这天夜间的气温为﹣5℃．
故答案为：﹣5℃．
15．解：画树状图如图：

共有6个等可能的结果，该点在第一象限的结果有2个，
∴该点在第一象限的概率为＝，
故答案为：．
16．解：连接OE、AE，

∵点C为OA的中点，
∴EO＝2OC，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
＝﹣﹣（﹣×）
＝16π﹣4π﹣+8
＝+8，
故答案为：+8．
17．解：∵把长方形纸片ABCD沿折痕EF折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处，
∴∠G＝∠A＝90°，∠GDE＝∠B＝90°，
∵∠DFG＝68°，
∴∠GDF＝∠G﹣∠DFG＝90°﹣68°＝22°，
∴∠ADE＝∠GDE﹣∠GDF＝90°﹣22°＝68°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣68°＝22°，
∴∠DEC＝90°﹣∠EDC＝90°﹣22°＝68°，
由折叠可得：∠FEB＝∠FED，
∴∠BEF＝，
故答案为：56．
18．解：设购买了樱花树苗x棵，梧桐树苗y棵，根据题意得，
x+y+48≤148，
∴x+y≤100，
设樱花树苗的单价为a元，则梧桐树苗的单价为（100﹣30﹣a）元，根据题意得，
30×48+ax+（100﹣30﹣a）y+112＝30×48+ay+（100﹣30﹣a）x，
化简得，（x﹣y）a＝35（x﹣y）﹣56，
设学校实际购买这三种树苗的费用为w元，则
w＝ax+（70﹣a）y+30×48
＝ax+70y﹣ay+1440
＝a（x﹣y）+70y+1440
＝35（x﹣y）﹣56+70y+1440
＝35（x+y）+1384，
当x+y＝100时，w取最大值为35×100+1384＝4884，
即学校实际购买这三种树苗最多需要花费4884元．
故答案为：4884．
三．解答题（共7小题，满分70分，每小题10分）
19．解：（1）原式＝（x2﹣4xy+4y2）﹣（x2﹣y2）
＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2
＝5y2﹣4xy；
（2）原式＝÷
＝﹣•
＝﹣
＝﹣．
20．（1）解：如图，CN为所作；

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAC＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
∴∠ABE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在Rt△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF．
21．解：（1）男生得分在80≤x＜90的人数为：20﹣2﹣2﹣11＝5（人），
男生得分出现次数最多的是95，故a＝95；
女生得分的中位数b＝＝92；
补全频数分布直方图如图所示；
故答案为：95，92；
（2）男生的“创新意识、创造能力和创业思维”较好，
理由：因为三创”男生得分的平均分和众数都高于女生；方差小；
（3）200×＝155名，
答：200名“三创”学生中优秀的人数有155名．

22．解：（1）把（1，0）（2，1）代入
函数y＝k1x+，
解得
答：y与x的函量表达式为y＝x，
自变量x的取值范围是x＞0或x＜0．
（2）如图就是函数y＝x的图象．

（3）①观察图象可知：
当x＞0时，y随x的增大而增大；
x＜0时，y随x的增大而增大；
函数图象永远与y轴不相交．
②观察图象可知：
当函数值y≥时，x的取值范围是﹣或x≥2
故答案为2、3、当x＞0时，y随x的增大而增大、﹣或x≥2．
23．解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78﹣x）棵树，
依题意得：≥1×，
解得：x≤18，
∴≤3．
答：A社区至多种植3天．
（2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1﹣a%）×5[1+（a+30）%]＝67500，
整理得：2.25a2﹣90a＝0，
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝40．
答：a的值为40．
24．解：（1）继续小明的方法，12＝42﹣22，13＝72﹣62，15＝82﹣72，16＝52﹣32，
即第10个幸福数仿照小明的方法用等式表示出来：16＝52﹣32．
故答案为：16＝52﹣32；
（2）假设4k+2（k是正整数）的数不是幸福数，则4k+2＝m2﹣n2（m，n是正整数），
4k+2＝（m+n）（m﹣n），
2（2k+1）＝（m+n）（m﹣n），
若m，n奇偶性相同，则m+n与m﹣n均为偶数，
右边为4的倍数，而左边不是4的倍数，故不成立；
若m，n奇偶性不相同，则m+n与m﹣n均为奇数，
右边为奇数，而左边是2的倍数，故不成立．
综上所述，4k+2不可能是两个正整数的平方差，即4k+2不是幸福数；
（3）我们发现将正整数从小到大4个一组，第一组有1个幸福数，其余各组均有3个幸福数，并且被4除余数是2的数都不是幸福数，
设第n个幸福数在第k组，则1+3（k+2）＜n≤1+3（k﹣1），n＝2021，
即3k﹣5＜2021≤3k﹣2，
674≤k＜675，
∵k为整数，
∴k＝675，
第2021个幸福数在第675组，
∵前674组有幸福数1+673×3＝2020（个），
∴第2021个幸福数是第675组的第1个数为674×+1＝2697，
∴m＝2697．
25．解：（1）在y＝ax2+bx﹣2中，令x＝0，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），OC＝2，
∵OA＝2OC＝4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝AB﹣OA＝1，
∴B（1，0），
将A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx﹣2中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；
（2）如图1，过点D作DJ⊥y轴于J，设点D（t，t2+t﹣2），
∵DE⊥x轴，DJ⊥y轴，
∴∠DJO＝∠DEO＝∠EOJ＝90°，
∴四边形OJDE是矩形，
∴JO＝DE＝t2+t﹣2，
∴BE＝t﹣1，AE＝t+4，
∴d＝＝﹣＝﹣＝；
（3）如图2，过点F作FR⊥x轴于点R，过点D作DS⊥y轴于点S，延长DB交AQ于点M，过点Q作QT⊥x轴于点T，过点P作PN⊥AD于点N，
∵点F纵坐标为﹣2，
∴x2+x﹣2＝﹣2，解得：x1＝0，x2＝﹣3，
∴F（﹣3，﹣2），
∴FR＝2，RE＝t+3，DS＝t，CS＝t2+t﹣2﹣（﹣2）＝t2+t，
∵tan∠FER＝＝，tan∠DCS＝＝＝，
∴tan∠FER＝tan∠DCS，
∴∠FER＝∠DCS＝∠GDE，
∴∠DEG+∠AEF＝90°，
∴∠DEG+∠GDE＝90°，
∴∠DGE＝90°，
∴tan∠GDE＝＝，
∵＝d＝，
∴＝，解得：t＝2，
∴DE＝3，OE＝2，
∴BE＝1，AE＝6，
∴AD＝＝3，
∴sin∠DAE＝＝，
由题意得：tan∠BPQ＝＝，设TQ＝3n，PT＝4n，
∴PQ＝＝5n，
∴AP＝5n，AT＝9n，
∴AQ＝＝3n，
∴tan∠TAQ＝＝，
∵tan∠BDE＝＝，
∴∠TAQ＝∠BDE，
∵∠ABM＝∠BDE，
∴∠AMB＝∠DEB＝90°，
∵BM＝AB•sin∠BAM＝5×＝n，
∴AM＝，MQ＝3n﹣，DM＝+＝，
∵PN＝AP•sin∠DAE＝n，
∴AN＝＝2n，
∴DN＝3﹣2n，
∵∠PDQ＝∠ADB，
∴∠NDP＝∠MDQ，
∴tan∠NDP＝tan∠MDQ，
∴＝，即：NP•DM＝DN•MQ，
∴n•＝（3﹣2n）（3n﹣）
解得：n1＝1（舍去），n2＝，
∴AP＝，OP＝，
∴点P的坐标为：（﹣，0）．


四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
26．（1）【操作发现】
解：如图1中，

∵△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，
∴AD＝AB，∠DAB＝50°，
∴＝65°，
故答案为：65．

（2）【解决问题】
①解：如图2中，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，
∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，
∴PP′＝PC，即AP＝PC，
∵∠APC＝90°，
∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝（）2，
∴PC＝2，
∴AP＝，
∴S△APC＝AP•PC＝××2＝．

②如图3，将△CBP绕着点C按顺时针方向旋转90°，得到△CAP′，

∵CP′＝CP，∠P′CP＝∠ACB＝90°，
∴△P′CP为等腰直角三角形，
∴∠CP'P＝45°，
∵∠BPC＝135°＝∠AP'C，
∴∠AP′P＝90°，
∵PA＝3，PB＝1，
∴AP′＝1，
∴PP′＝＝＝2，
∴PC＝＝＝2．
故答案为：2．
（3）【拓展应用】
解：如图4中，将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，连接PD、CE．

∵将△APB绕B顺时针旋转60°，得到△EDB，
∴∠ABP＝∠EBD，AB＝EB＝4，∠PBD＝60°，
∴∠ABP+∠PBC＝∠EBD+∠PBC，
∴∠EBD+∠PBC＝∠ABC＝75°，
∴∠CBE＝135°，
过点E作EF⊥CB交CB的延长线于点F，
∴∠EBF＝45°，
∴，
在Rt△CFE中，∵∠CFE＝90°，BC＝3，EF＝2，
∴＝
即PA+PB+PC的最小值为．