第9章 复数（章节易错题型分析）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）学案

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第9章 复数章节易错题型分析易错点1．对复数的相关概念混淆不清例1 以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则；（3）若且，则;（4），则．其中正确的有     个．【错解】4个【错因】（1）当得到时就认为是纯虚数，忽略了b可以为0的条件．（2）认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中．（3）认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中．（4）把实数等式性质错误的推广到复数中．【正解】（1）错，设互为共轭复数的两个复数分别为及（），则或，当时，是纯虚数，当时，；（2）错，反例设则；（3）错，反例设满足但不能比较大小；（4）错，设，，，则，但它们并不相等．故答案是0个．【跟踪训练1】（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】本题首先可根据复数为纯虚数得出以及，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.【详解】若复数是纯虚数，则，，则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得，故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件，故选：B.【跟踪训练2】（2020·徐汇区·上海中学高二期末）给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.【详解】对于①：设，均为实数，由可得，所以，即，故①正确；对于②：当，时，满足，但是，故②不正确；对于③：当时，满足，但是不是纯虚数，故③不正确；对于④：设，由可得，所以，故④正确.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.【跟踪训练3】（2020·上海市进才中学高二月考）在复数范围内（为虚数单位），下列命题正确是（    ）A． B．若，则；C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】由复数的定义和复数运算可得结果.【详解】纯虚数不能比较大小，所以A不正确；，当时成立，所以B不正确；，当时成立，所以C不正确； ，,所以D正确故选：D【跟踪训练4】（2018·上海市宝山中学高二期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ）A．若，且，那么一定是纯虚数B．若且，则C．若，则D．若，则方程只有一个根【答案】A【分析】根据为实数且可知为纯虚数，正确；两个复数差为实数，可能只是虚部相等，错误；由反例可说明错误；方程在复数集中的根与方程次数一致，错误.【详解】中，若为复数，能与比较大小，则为实数又    为纯虚数，正确；中，两个复数相减为实数，但两个复数未必是实数，可能是虚部相等，此时无法比较大小，错误；中，若，，满足，错误；中，在复数集中解一元三次方程，此方程有三个根，错误.故选【点睛】本题考查与复数的定义、复数的类型和复数运算有关的命题的辨析，属于基础题.【跟踪训练5】（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）下列命题中,正确的命题是（     ）A．若，则B．若，则不成立C．，则或D．，则且【答案】C【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确.【详解】A．当时，，此时无法比较大小，故错误；B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；D．当时，，此时且，故错误.故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.【跟踪训练6】（2019·上海徐汇区·高三期末）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.易错点2．对复数的几何意义理解不够例2已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ）（A）        （B）        （C）      （D）【错解】要使复数对应的点在第四象限应满足：，无解.【错因】没有理解复数的几何意义，不知道如何将复数与复平面内的点对应.【正解】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A【跟踪训练1】（2018·上海市宝山中学高二月考）若复数，当实数为何值时（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点在第二象限.【答案】(1)m=2或m=-1  (2)m=-3  (3)m范围【分析】（1）根据复数的分类条件可求出的值;（2）根据纯虚数的条件可得出结果;（3）利用复数的几何意义,转化为的不等式,即可求的取值范围.【详解】（1）当是实数时,,解得或,所求的值为或;（2）当是纯虚数时,,解得,所求的值为;（3）当对应的点在第二象限时,,解得,实数的取值范围是.【点睛】本题考查复数的分类,以及复数的几何意义,考查等价转化,数形结合思想,属于基本题.易错点3．对复数的模理解不透例3设其中,实数,则(    )（A）1     （B）      （C）       （D）2【错解】因为所以，，故选D.【答案】不理解复数的模的公式【正解】因为所以故选B.【跟踪训练1】（2018·上海市七宝中学高三期末）已知复数（是虚数单位）是虚数，且，则实数的值是______【答案】【分析】计算复数，根据，结合模长公式即可解出实数的值．【详解】由题：复数，是虚数，则，，即，解得或（舍）所以．故答案为：【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．易错点4．复数相等的条件应用出错例4已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值．【错解】根据复数相等的充要条件，可得，解得．【错因】误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解。【正解】依题意设，带入关系式，整理得：，根据根据复数相等的充要条件，可得，解得，则有．【跟踪训练1】（2020·上海高二课时练习）关于的方程有纯虚数根，则为（    ）．A．0 B．1 C．2 D．0或2【答案】C【分析】设出方程的纯虚根并代入方程，根据复数相等的条件即可解得结果.【详解】设关于的方程的纯虚数根为，且，则，即，根据复数相等的条件得，因为，所以，解得或（舍去）故选：C.【点睛】本题考查了纯虚根的概念和复数相等的条件，属于基础题.【跟踪训练2】（2020·上海高二课时练习）已知为复数，满足，求的值．【答案】【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得即可得到答案.【详解】由已知得，∵，∴为纯虚数，且虚部小于0，设，则，所以，所以．解方程得（正根舍去）．∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了复数方程，考查了复数相等的条件，属于基础题.易错点5．复数的“模”与“绝对值”混淆出错例5在复数范围内解不等式．【错解】原不等式，，．即有．【错因】把实数中绝对值的性质“”生搬硬套到复数模中来．【正解】原不等式，，，且．其解为以点（3，0）为圆心，1为半径的圆内部，且去除点（1，0）．易错点6．方程有解的条件判断出错例6已知关于x的方程有实数根，求实数k应满足的条件．【错解】由于方程有实数根，得，解得或【错因】误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件，方程有实数根时，可把实数根代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出和的值即可．【正解】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的充要条件，得，解得或．【跟踪训练1】（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）若方程有实数根，则实数k的取值是____________．【答案】【分析】将方程整理为：，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出的值.【详解】因为有实数根，所以有实根，所以，所以，所以，故答案为：.易错点7．对复数的运算不熟悉致错例7若，则（     ）(A)1             (B)  -1           (C)              (D) 【错解】，选D．【错因】计算出现错误，将带入了计算．【正解】，故选C．【跟踪训练1】已知是纯虚数，并使得，求【答案】-2i【分析】设，代入进行化简，根据为实数，列方程，解方程求得的值，也即求得.【详解】设，代入得，所以，解得.所以.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.【跟踪训练2】（2019·上海普陀区·曹杨二中高二期末）（1）已知，求复数；（2）已知复数满足为纯虚数，且，求复数．【答案】（1）；（2）或或.【分析】（1）设复数，根据复数的运算法则和复数相等得出关于、的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数；（2）设复数，根据为纯虚数和列出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出复数.【详解】（1）设复数，由，得，根据复数相等得，解得，因此，；（2）设复数，则，由题意可得，.，得，所以有，解得或.因此，或或.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.