上海期末真题精选50题（大题基础版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

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上海期末真题精选50题（大题基础版）
一、解答题
1．（2019·上海市杨浦高级中学高一期末）已知函数
（1）求函数的定义域：
（2）求函数的单调递减区间：
（3）求函数了在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）.
（2）,.
（3）,.
【分析】（1）根据分母不等于求出函数的定义域.
（2）化简函数的表达式,利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可.
（3）通过满足求出相位的范围,利用正弦函数的值域,求解函数的最大值和最小值.
【详解】解：（1）函数的定义域为：
,即,
（2）



,
令且,
解得：,
即
所以的单调递减区间：,.
（3）由,可得：,
当,即：时,
当,即：时,
【点睛】
本题考查三角函数的最值以及三角函数的化简与应用,两角和与差的三角函数的应用考查计算能力.
2．（2018·上海高一期末）已知函数，．
求函数的最小正周期；
用五点法作出函数一个周期内的图象．
【答案】（1）； （2）见解析.
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求解最小正周期；（2）列表，作图即可．
【详解】函数
函数的最小正周期；
由可知
五点列表，
x
 
 
 
 

 
0
 
 
 

 y
0

 0

 0

作图：

【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，解题时应根据画三角函数的图象的基本步骤画出图形，是基础题．
3．（2019·上海市南洋模范中学高一期末）已知：（，为常数）．
（1）若，求的最小正周期；
（2）若在，上最大值与最小值之和为3，求的值．
【答案】（1）；（2）0
【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简，即可求出最小正周期；
（2）根据在，上，求解内层函数范围，即可求解最值，由最大值与最小值之和为3，求的值．
【详解】解：

，
（1）的最小正周期；
（2），，
当时，即，取得最小值为，
当时，即，取得最大值为，
最大值与最小值之和为3，，，
故的值为0．
【点睛】本题主要考查三角函数的性质和图象的应用，属于基础题．
4．（上海市南汇第一中学高一期末）若，其为锐角，求的值
【答案】
【分析】利用同角公式求出两个角的余弦值，再根据两角和的余弦公式可得答案.
【详解】因为为锐角，且，
所以，，
所以
.
【点睛】本题考查了同角公式，考查了两角和的余弦公式，属于基础题.
5．（上海曹杨二中高一期末）已知一个扇形的周长为定值,求其面积的最大值,并求此时圆心角的大小.
【答案】时,扇形面积最大为.
【分析】设扇形面积为,半径为,圆心角为,则扇形弧长为,,,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.
【详解】设扇形面积为,半径为,圆心角为,则扇形弧长为,
所以.
故当且时,扇形面积最大为.
【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题.
6．（2019·上海市青浦区第一中学高二期末）已知平面内三个向量：．．
（1）若∥，求实数；
（2）若⊥，求实数．
【答案】（1）（2）
【详解】（1）∥

（2）⊥

7．（2020·上海市杨浦高级中学高一期末）已知，且是第四象限角，求的值.
【答案】.
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】解：因为，且是第四象限角，
所以，因为，解得或
因为是第四象限角，所以
所以
8．（2020·上海市川沙中学高一期末）
（1）求的递增区间；
（2）当，时，求的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）化函数为正弦型函数，根据正弦函数的单调性求出的单调增区间；
（2）求出时的取值范围，从而得出的取值范围，进而可得的值域．
【详解】函数，
（1）令，
解得，
所以函数的单调增区间.
（2）当时，，
，
，
的值域为.
【点睛】本题考查了三角函数的图象、单调性、值域等性质的应用，是基础题.
9．（2020·上海市七宝中学高一期末）已知函数的最大为2.
（1）求的值，并求的最小正周期；
（2）求在上的单调递增区间.
【答案】（1），最小正周期为；（2）单调递增区间为和.
【分析】（1）先根据二倍角公式和辅助角公式将原式化简整理，得到，根据函数最值，即可求出，再由正弦函数的周期，即可求出周期；
（2）先由正弦函数的单调递增区间列出不等式求解，得出函数的单调递增区间，再由给定区间，即可得出结果.
【详解】（1）
，
所以，
因为函数的最大为2，所以，
解得；
所以，因此最小正周期为；
（2）由，得，
所以的单调递增区间为，
又，取，
得在上的单调递增区间为和.
【点睛】本题主要考查由正弦型函数的最值求参数，考查求正弦型函数的最小正周期，以及正弦型函数的单调区间，涉及二倍角公式以及辅助角公式，属于常考题型.
10．（2020·上海高一期末）已知函数.
（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）求函数在区间上的所有零点之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出函数的单调增区间，结合函数在区间，上单调递增，即可求得实数的取值范围；
（2）由，求解在上的值，即可得到函数在区间上的所有零点之和．
【详解】解：（1）由，
得，．
取，可得，
函数在区间，上单调递增，
实数的取值范围是；
（2）由，
得，则或，．
又，，，，．
即函数在区间，上的所有零点是0，，
故零点之和为．
【点睛】本题考查复合函数单调性的求法，考查利用三角函数值求角，属于基础题．
11．（2021·上海市川沙中学高一期末）已知，
求（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）将分子、分母同除以即可求解.
（2），再将分子、分母同除以即可求解.
【详解】（1）；
（2）.
12．（2020·上海高一期末）已知，，求和的值.
【答案】；.
【分析】根据及角的范围求出，结合两角和与差的正弦余弦公式可求，或者利用诱导公式通过求解.
【详解】由题意，，∴，
.
或者由诱导公式，可直接得到.
【点睛】本题主要考查三角函数给值求值问题，根据平方关系求出另一个弦函数是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.
13．（2019·上海市文来中学高一期末）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且.
（1）求sinA．
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）直接利用正弦定理即可求解.
（2）利用同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式以及三角形的内角和性质即可求解.
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理可得
将代入上式可得，解得.
（2）在△ABC中，，且为钝角，所以，
，，
所以
【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、同角三角函数的基本关系以及二倍角的余弦公式，属于基础题.
14．（上海市金山中学高一期末）已知，.求和的值.
【答案】，
【分析】把已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系化简，可得的值，同时由与的值可判断出，，计算出的值，可得的值.
【详解】解： ，两边同时平方可得：，
又，，∴
∴，
∴
【点睛】同时主要考查同角三角函数关系式的应用，相对不难，注意运算的准确性.
15．（上海市金山中学高一期末）对于函数和实数，若存在，使成立，则称为函数关于的一个“生长点”.若为函数关于的一个“生长点”，则______.
【答案】
【分析】由为函数关于的一个“生长点”，得到
由诱导公式可得答案.
【详解】解：为函数关于的一个“生长点”，

，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，及函数的创新题型，属于中档题.
16．（上海市大同中学高一期末）已知，
（1）求的值.
（2）求的值.
【答案】（1）3；（2）-4
【分析】（1）根据诱导公式即可求解；
（2）根据诱导公式化简结合（1）的结论求值.
【详解】（1）由题：，所以，；
（2）




【点睛】此题考查三角函数化简求值，关键在于熟练掌握诱导公式的应用，准确进行变形化简，构造正切求值.
17．（2020·上海交大附中高一期末）高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，.
（1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围；
（2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值.
【答案】（1），（2）当时，最大为
【分析】（1）表示出弧长,即可由扇形面积公式表示出.根据弧度定义,用弧长和半径表示出圆心角弧度数,并结合即可求得半径的取值范围.
（2）由二次函数性质,即可求得面积的最大值,及此时的半径.
【详解】（1）当半径为,所以弧长为
所以
由弧度定义可知,而
所以,解得
综上可知,
（2）因为

由二次函数的性质可知,
当时,最大为
【点睛】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用,根据二次函数性质求最值,属于基础题.
18．（2017·上海华师大二附中高一期末）关于的不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由行列式的运算法则，得原不等式即，而不等式的解集为，采用比较系数法，即可得到实数的值；
（2）把代入，求得，进一步得到，再由两角差的正切公式即可求解.
【详解】（1）原不等式等价于，
由题意得不等式的解集为，故是方程的两个根，
代入解得，所以实数的值为.
（2）由，得，即.
，

【点睛】本题考查了行列式的运算法则、由一元二次不等式的解集求参数值、二倍角的正切公式以及两角差的正切公式，需熟记公式，属于基础题.
19．（2018·上海市进才中学高一期末）已知、、是锐角中、、的对边，是的面积，若，，．
（1）求；
（2）求边长的长度．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角形的面积公式结合为锐角可求出的值；
（2）利用余弦定理可求出边长的长度．
【详解】（1）由三角形的面积公式可得，得.
为锐角，因此，；
（2）由余弦定理得，因此，.
【点睛】本题考查利用三角形的面积公式求角，同时也考查了利用余弦定理求三角形的边长，考查计算能力，属于基础题.
20．（2018·上海市金山中学高一期末）（1）已知是第三象限角，且，求的值．
（2）已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求．
【答案】（1），（2）当时，原式；当时，原式．
【分析】（1）根据 以及，联立即可求解．
（2）根据三角函数的定义即可求解．
【详解】（1）
由 的，，又因为是第三象限角，
所以，．
（2）由三角函数的定义可知
，，
当时，，，所以；
当时，，，所以
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、三角函数的定义，当含有参数时，需对参数进行讨论，否则得到的答案是片面的．
21．（2018·上海市川沙中学高一期末）已知：角终边上一点.
求：（1）；
（2）.
【答案】（1）2 ；（2）.
【分析】（1）根据任意角的正切函数的定义，可直接得出结果；
（2）根据诱导公式，将所求式子化简，再由弦化切，结合（1）的结果，即可求出结果.
【详解】（1）由角终边上一点，可得；
（2）
.
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数，以及三角函数的化简求值问题，熟记任意角的三角函数的定义，以及诱导公式等即可，属于常考题型.
22．（2019·上海市延安中学高一期末）解关于的方程：
【答案】
【分析】根据方程解出或，利用三角函数的定义解出，再根据终边相同角的表示即可求出.
【详解】由，得，
所以或，所以或，
所以的解集为：.
【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.
23．（2018·上海高一期末）某小区规划时，计划在周边建造一片扇形绿地，如图所示已知扇形绿地的半径为50米，圆心角从绿地的圆弧边界上不同于A，B的一点P处出发铺设两条道路PO与均为直线段，其中PC平行于绿地的边界记其中

当时，求所需铺设的道路长：
若规划中，绿地边界的OC段也需铺设道路，且道路的铺设费用均为每米100元，当变化时，求铺路所需费用的最大值精确到1元．
【答案】（1）； （2）元.
【分析】（1）在△POC中，运用正弦定理即可得到所求道路长；
（2）在△POC中，运用正弦定理求得PC，OC，由条件可得铺路所需费用为，运用两角和差正弦公式和正弦函数的值域，可得所求最大值．
【详解】解：在中，，，
则，
由正弦定理可得，可得，
所需铺设的道路长为.
在中，可得
，，
可得，，
则铺路所需费用为

，
当，，取得最大值1，
则铺路所需费用的最大值为元．
【点睛】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查三角函数的恒等变换，以及正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．
24．（2018·上海高一期末）已知，．
求的值；
化简并求的值．
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）化余切为正切，求解关于tanα的方程得答案；（2）利用诱导公式变形，化弦为切求解．
【详解】解：由，得，
，
解得：或．
，；
．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
25．（上海高一期末）已知
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1)20，（2）
【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cos和tan的值，进而利用二倍角公式把sin2展开，把sin和cos的值代入即可．
（2）先利用诱导公式使=tan（﹣），再利用正切的两角和公式展开后，把tanα的值代入即可求得答案．
【详解】(1)由，得，所以
＝
（2）∵，∴
【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值的问题．要求学生能灵活运用三角函数的基本公式．
26．（2017·上海高一期末）如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：

(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
【答案】（1）24；（2）8
【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．
（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．
【详解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°
由正弦定理得

(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．
所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．
【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
27．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）在中，分别为内角所对的边，且满足，.
（1）求的大小；
（2）若，求的面积.
【答案】(1) (2)
试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角范围求的大小；（2）先由余弦定理求，再根据三角形面积公式求面积
试题解析：解：（1）∵，
∴由正弦定理化简得：，
∵，∴，
∵，
∴为锐角，则.
（2）∵，，，
∴由余弦定理得：，即，
整理得：，
计算得出：（舍去）或，
则.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
28．（2019·上海市杨浦高级中学高一期末）在中，已知，是边上的一点，,,.

（1）求的大小；
（2）求的长.
【答案】（1）；（2）.
试题分析：（1）在中，由余弦定理得，最后根据的值及，即可得到的值；（2）在中，由正弦定理得到，从而代入数据进行运算即可得到的长.
试题解析：（1）在中，，由余弦定理可得

又因为，所以
（2）在中，
由正弦定理可得
所以.
考点：1.正弦定理；2.余弦定理；3.解斜三角形.
29．（上海高一期末）已知锐角满足，，求．
【答案】
试题分析：首先利用同角间的三角函数关系由，的值求得的值，将所求的角用已知两角来表示，借助于两角差的余弦公式求解
试题解析：

当时，

当时，

考点：1．同角间的三角函数关系；2．两角和差的正余弦公式
30．（上海高一期末）
已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值．
【答案】（I）；（II）取最大值为6，最小值为．
【解析】（I）
（II）
=
=,
因为，
所以，当时，取最大值6；当时，取最小值
31．（2020·上海高一期末）设，函数的图象与轴的交点中，任意两个交点之间距离的最小值为________.
【答案】
【分析】通过分析可知图象与轴的交点中距离最小为周期的一半，求出函数的周期即可求出本题的答案.
【详解】解：由函数的解析式可知，由正弦函数的图象进行了左右平移及伸缩变换，得到该函数，
未作上下方向的平移变换，所以图象与轴的交点中距离最小为周期的一半，
函数的周期为，所以最小距离为.
故答案为: .
【点睛】本题考查了正弦型函数图象与性质，属于基础题.
32．（2019·上海市文来中学高一期末）已知函数的最大值为2，且图像过点（1，1），相邻两对称轴间的距离为2.
（1）求的解析式.
（2）求的单调增区间.
（3）计算的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）通过函数的最大值为2，求出，相邻两对称轴间的距离为2，求出函数的周期，得出；图像过点（1，1）以及的范围。求出的值，得出函数解析式.
（2）由（1）的解析式，整体代入正弦函数的单调递增区间即可求解.
（3）利用（1）求出函数在一个周期内的函数和的值，然后求出的值即可.
【详解】（1）由题意可得，
所以，解得，
又图像过点（1，1），所以，即
又
解得，
所以.
（2）由，
解得，
所以函数的单调增区间为.
（3）由（1），
则
故.
【点睛】本题考查了利用三角函数的性质求函数解析式、整体代入法求函数的单调区间、函数周期性的应用，属于基础题.
33．（上海高一期末）已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若的内角A满足，求角A的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）首先利用三角函数关系式的变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的单调地增区间；
（2）利用（1）的函数关系式，可得，结合的取值范围，即可求出的值.
【详解】（1）函数
令，解得：.
∴函数的单调递增区间为：.
（2）的内角满足，故，即.
∵
∴
∴
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
34．（上海高一期末）已知函数和的定义域都是．

（1）请在同一平面直角坐标系上画出函数和的图象，并标出两图象交点的横坐标的数值：（不要求写作法）
（2）根据图象写出满足条件的x的取值范围.（直接写出答案即可）
【答案】（1）图象见解析；（2）.
【分析】（1）用五点法作图；
（2）根据正弦函数图像比余弦函数图像高或者一样高的部分,写出x的取值范围
【详解】
（1）
（2）
【点睛】本题考查五点法作函数的图像，属于中档题.
35．（2015·上海曹杨二中高一期末）如图，函数，的图像与y轴交于点

（1）求的值；
（2）设P是图像上的最高点，M，N是图像与x轴的交点，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)把点代入函数,再由的取值范围求出的值.
(2)由(1)知 函数,结合图象可得点 ，根据向量的坐标运算可求得其值.
【详解】(1)把点代入函数可得,,又，所以.
(2)由(1)知 函数,结合图象由得点由，得，所以，所以.
【点睛】本题考查根据函数图像求正弦型函数的解析式，正弦型函数的最值和零点，以及向量的数量积的坐标运算，属于基础题.
36．（2017·上海华师大二附中高一期末）已知函数的最小正周期为.
（1）求的值和函数的值域；
（2）求函数的单调递增区间及其图像的对称轴方程.
【答案】（1），值域为；（2）单调递增区间为，对称轴方程为.
【分析】（1）利用二倍角公式降幂，然后化为的形式，由周期公式求出，同时求得值域；
（2）直接利用复合函数的单调性求得增区间，再由求得对称轴方程.
【详解】（1）
，
由，得，
，
则函数的值域为；
（2）由，
解得，
函数的单调递增区间为，
令，解得，
函数的对称轴方程为.
【点睛】本题考查了二倍角公式以及三角函数的图像与性质，掌握正弦函数的性质才是解题的关键，考查了基本知识，属于基础题.
37．（2018·上海市进才中学高一期末）已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递增区间．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用三角恒等变换思想得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期；
（2）解不等式，即可得出函数的单调递增区间.
【详解】（1），
所以，函数的最小正周期为；
（2）令，可得，
因此，函数的单调递增区间为.
【点睛】本题考查正弦型函数周期和单调区间的求解，解题的关键在于利用三角函数解析式化简，考查计算能力，属于中等题.
38．（2018·上海华师大二附中高一期末）已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）在中，若，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）先将函数化简整理，得到，根据，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果；
（2）令，得到或，根据，，得出，，求出，根据正定理，即可得出结果.
【详解】（1）

因为，所以，因此；
故函数在区间上的最大值；
（2）因为，由（1），令，
所以或，
解得：或，
因为，所以，，
因此，
由正弦定理可得：.
【点睛】本题主要考查求正弦型复合函数在给定区间的最值，以及正弦定理的应用，熟记正弦函数的性质，以及正弦定理即可，属于常考题型.
39．（2019·上海市川沙中学高一期末）已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为-1
【分析】（1）利用辅助角公式得：，将放入的单调递增区间中，求出的范围即可；（2）根据的范围得的范围，结合的图象可求得最值.
【详解】（1）
由得：
的单调增区间为
（2）当时，
当时，
当时，
的最大值为，最小值为
【点睛】本题考查的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析的图象求得结果.
40．（2018·上海高一期末）已知.
若，且，求的值；
求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】根据两角和差的余弦公式进行计算即可
利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可．
【详解】若，且，
则，则，
则．
函数，
，
当时，函数取得最小值，最小值为．
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键．
41．（2020·上海市控江中学期末）已知向量与是平面上的一组基向量.
（1）设向量，试用向量与表示；
（2）设是实数，向量，设与的夹角为，与的夹角为.若，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，根据平面向量的坐标运算建立和的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果；
（2）由结合平面向量夹角余弦值的坐标运算可得出关于的等式，即可解出实数的值.
【详解】（1）设，则，即，解得，
因此，；
（2）根据题意，，，
，，可得，解得.
【点睛】本题考查平面向量坐标的线性运算，同时也考查了利用平面向量的夹角相等求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
42．（2020·上海期末）已知向量,.
（1）若向量，求实数的值；
（2）若向量满足，求的值.
【答案】（1）或；（2）.
【分析】（1）求出向量和向量的坐标，根据向量共线的坐标表示求的值.
（2）由向量相等求出的值，根据求值即可.
【详解】（1）,，
，.
，，
解得或.
（2），
，
即，解得.
.
【点睛】本题考查向量共线定理的坐标表示和向量相等，用到方程的思想，属于基础题.
43．（2020·上海期末）已知向量，其中是互相垂直的单位向量.
(1) 求向量在向量方向上的投影；
(2) 设向量，若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题中条件，结合向量投影的概念，即可得出结果；
（2）根据，得到，得出，进而求解，即可得出结果.
【详解】（1）因为，是互相垂直的单位向量，
所以，
，，
所以向量在向量方向上的投影为；
（2）因为，，
则，即，
即，解得.
【点睛】本题主要考查求向量的投影，以及由向量垂直求参数，熟记向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
44．（2019·上海市嘉定区第二中学期末）在直角坐标系中已知A(4,O)、B(0,2)、C(-1,0)、D(0,-2),点E在线段AB(不含端点)上,点F在线段CD上,E、O、F三点共线.

(1)若F为线段CD的中点,证明:；
(2)“若F为线段CD的中点,则”的逆命题是否成立?说明理由；
(3)设,求的值．
【答案】（1）见详解
（2）“若F为线段CD的中点,则”逆命题成立；
（3）
【分析】（1）由条件求得，可得，再由可得；
（2）小题（1）的逆命题成立，设由得再得，由共线可得，解方程组，求得的坐标，可得F为线段CD的中点.
（3）设，由定比分点坐标公式可得，设，由定比分点坐标公式可得，再根据三点共线，可得， ，化简可得的值.
【详解】（1）

若F为线段CD的中点，则，
，


又
.
故
（2）小题（1）的逆命题成立，设，由，三点共线，可得，所以，
，
由共线，，，
所以，即
解方程组 ，求得 ，可得
故F为线段CD的中点
（3） ，设，由定比分点坐标公式可得
，
设，由定比分点坐标公式可得
，
三点共线，可得，
即
，化简可得
【点睛】本题主要考查向量共线的坐标表示、线段的定比分点坐标公式、向量数量积的坐标表示，属于基础题.
45．（2019·上海市嘉定区第二中学期末）已知是两个不平行的向量,.
(1)求证:；
(2)若求的值
【答案】（1）见详解（2）
【分析】（1）求出，再由向量数量积的性质，向量垂直的条件即可得证.
（2）运用向量数量积的坐标表示和两角和差公式即可得到所求值.
【详解】（1）
，

，结论即可得证.
（2），



由

综上所述，
【点睛】本题主要考查向量数量积的性质、两角和差公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题.
46．（2019·上海市嘉定区第二中学期末）如图,矩形中，为边的中点，为边的中点,设

(1)试用和表示两个向量
(2)求两个向量的夹角的大小(用反三角函数值表示).
【答案】（1） ；
（2）
【分析】（1）分别是、的中点，，，再由向量加法的三角形法则即可求解.
（2）求出，，，根据向量的数量积求夹角即可求解.
【详解】

（1）分别是、的中点，
，



综上所述，，
（2），



设的夹角为
则
则
综上所述，的夹角为
【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.
47．（2018·上海市民办扬波中学期末）已知，，且.
（1）求的值；
（2）求与所成角的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由即，，利用向量的数量积的运算律，计算可得。
（2）由夹角公式计算出夹角的余弦值，即可求出夹角。
【详解】解：（1）

，

（2）由（1）知，，



【点睛】本题考查向量的数量积的运算律，特殊角的三角函数值及夹角公式，属于基础题。
48．（2019·上海市控江中学期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，动点满足．
（1）若P在线段AB上，求P的坐标．
（2）证明P总落在一个定圆上，并给出该定圆的方程．
【答案】（1）；
（2）证明见解析；；
【分析】（1）根据定比分点坐标公式即可求解。
（2）设，由两点间的距离公式直接列方程即可求解。
【详解】（1）由题意，得，由定比分点公式，得，
类似，，∴．
（2）设，由可得，
两边平方，并化简得，∴P落在以为圆心，半径为的圆上．
【点睛】本题考查定比分点公式以及直接法求轨迹方程，属于中档题。
49．（2019·上海期末）已知平行四边形中，，，，是边上的点，且，若与交于点，建立如图所示的直角坐标系.

（1）求点的坐标；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意写出各点坐标，利用求得点的坐标。
（2）根据求得点的坐标，再计算、，求出数量积。
【详解】

建立如图所示的坐标系，
则，，，，
由，所以，
设，则,
所以，解得，
所以
（2）根据题意可知，所以,
所以，从而，
。
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算以及数量积，属于基础题。
50．（2019·上海市吴淞中学期末）(1)已知求与的夹角
(2)设在上是否存在点M,使若存在，求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.
【答案】(1)；(2) 或
【分析】(1)将等式展开得到，计算得到答案.
(2) 设，利用解得答案.
【详解】(1)

(2)假设存在，设

即，解得或
故坐标为：或
【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.