上海期末真题精选50题（大题压轴版）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）

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上海期末真题精选50题（大题压轴版）

1．（2021·上海高一单元测试）用分别表示的三个内角所对边的边长，表示的外接圆半径.
（1），求的长；
（2）在中，若是钝角，求证：；
（3）给定三个正实数，其中，问满足怎样的关系时，以为边长，为外接圆半径的不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用表示.
【答案】（1）（2）见解析（3）见解析
【分析】（1）先根据正弦定理得，再根据余弦定理求的长；
（2）先根据余弦定理得，再根据正弦定理放缩证明结果；
（3）先根据正弦定理讨论三角形解的个数，再根据余弦定理求.
【详解】（1）由正弦定理得
所以（负舍）；
（2）因为，是钝角，
所以
因此；
（3）当时, 不存在，
当时，不存在，
当时，存在一个，此时
当时，存在一个，
此时，
当时，存在两个，

当A为锐角时，


当A为钝角时，



【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.
2．（2021·上海高一专题练习）对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如表：

（1）求：
（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，求
（3）若，其中，求此函数的解析式，并求．
【答案】（1）2；（2）；（3）见解析
【分析】（1）由内往外计算即可；
（2）由已知，通过计算易得数列是以4为周期的周期数列，先计算的值，利用即可得到答案；
（3）代入表中数据即可得到的解析式，再分n为奇数、偶数讨论求和即可.
【详解】
（1）由表中数据可得.
（2），由于，则，，
，，所以，依次递推可得数列
的周期为4，又，所以.
（3）由题意得，由，得，即
，又，则，从而，而，所以
，故，消，得
所以，解得，又，
所以，所以，
此函数有最小正周期6，且，，
当时，
；
当时，

.
【点睛】本题考查三角函数与数列的综合应用，涉及到求三角函数的解析式、周期数列的和，是一道中档题.
3．（2021·上海高一单元测试）设函数为偶函数.
（1） 求的值；
（2）若的最小值为，求的最大值及此时的取值；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中.已知在处取得最小值并且点是其图象的一个对称中心，试求的最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为， 此时的取值为；（3）
【分析】（1）根据 是偶函数，转化为 对一切恒成立求解.

（2）由（1）得到 ， 根据最小值为， 则，得到，然后再求最大值.
（3）由（2）得到，根据在处取最小值，点是其图象的一个对称中心，，由求解.
【详解】（1）因为， 是偶函数，
所以 对一切恒成立，
所以.
（2）由（1）知 ，
因为其最小值为，
所以 ，
所以，
当时，取得最大值， 此时；
（3）由（2）知：，
，
，
因为在处取最小值，且点是其图象的一个对称中心,
所以，
所以，，
所以，则，
即，
又因为，
所以，，
当时， ，
，在处取得最大值，不符合题意；
当时，，
， 在取不到最小值，，不符合题意；
当时， ，
， 在处取得最小值，
，的图象关于点中心对称，
所以的最小值为.
【点睛】本题主要考查三角函数性质的综合应用，还考查了运算求解的能力，属于难题.
4．（2021·上海高一课时练习）如图，数轴的交点为，夹角为，与轴、轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标)．

(1)若，为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标；
(2)若，点的坐标为，求向量与的夹角．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)利用与的数量积及为单位向量列出方程组，求解即得；
(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量与的夹角的余弦得解.
【详解】(1)时，坐标系为平面直角坐标系，
设点P(x,y)，则有，而，，
又，所以，又因，
解得，故点P的坐标是；
(2)依题意夹角为45º，，，
，
，，
所以＝2，，而，故.
【点睛】坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平面向量的直角坐标方法处理.
5．（2021·上海高一课时练习）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．

（1）在直角坐标系中，点，将点绕坐标原点按逆时针方向旋转到点，如果终边经过点的角记为，那么终边经过点的角记为．试用三角比知识，求点的坐标；
（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转角得向量，试用、、表示向量的坐标；
（3）设、为不重合的两定点，将点绕点按逆时针方向旋转角得点，判断是否能够落在直线上，若能，试用、、表示相应的值，若不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能，.
【分析】（1）计算出以及、的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求得和，进而可得点的坐标；
（2）记，，，可得出，利用两角和的正、余弦公式可求得向量的坐标；
（3）求得点的坐标，由点在直线上可得出，分与两种情况讨论，结合反三角函数可得出角.
【详解】（1）由于点，则，
根据三角函数的定义可得，，
所以，，
，
由旋转可知，，
所以，点的横坐标为，纵坐标为，
因此，点的坐标为；
（2）记，，，则，
其中，
，
因此，；
（3），
由（2）可知，
，
即点，
由于点在直线上，
可得，
整理得.
①当时，即当时，，此时；
②当时，即当时，可得，此时，.
综上所述，.
【点睛】本题考查三角恒等变换与平面向量的综合问题，考查了两角和的正弦、余弦公式以及反三角函数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.
6．（2021·上海高一专题练习）在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数.
【分析】当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析.
【详解】解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形的图像有以下几种情况：
作图：



.
当时，无解【如图（1）】；
当时，有一个解【如图（2）】；
当时，有两个解【如图（3）】；
当时，有一个解【如图（4）、图（5）】.
【点睛】本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题.
7．（2016·上海市复兴高级中学高一月考）（1）如图，在平行四边形中，点是对角线的延长线上一点，且.记，试用向量表示.

（2）若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，求的取值范围；

（3）设，已知，当的面积最大时，求的大小.
【答案】（1）；（2）；（3）60°.
【分析】（1）由向量的线性运算可得，即，，最后用表示即可；
（2）设交于点，平分于点，，
设，就可以用表示，从而求得其取值范围；
（3）引入参数，，，已知条件为化，，变形得，三角形面积为，求出的最大值后，可得。
【详解】（1）；
（2）设交于点，平分于点，设，
，，，
∴，
∵，∴，即所求取值范围是；

（3）记，，，则化为，，∴，∴ ，，
，
又当且仅当，即时，等号成立，
∴的最大值为，此时.
【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积及其性质，考查三角形面积、余弦定理、基本不等式求最值．对学生的运算求解能力，推理论证能力要求较高，属于难题．
8．（2017·上海格致中学高一期中）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；
（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.
【答案】（1）；见解析（2）见解析；（3），，
【分析】（1）根据题意利用恒成立，直接解出；（2）把替换成，根据成立，得出结论；（3），利用三角函数化简得到对任意的都成立，所以，根据题意推出，再求出结论．
【详解】解：（1）由及，
可得，即为对成立，
需满足条件，解得，，因，存在，所以．
（2）证明：由，对于定义域内的任意，均有成立，
所以把替换成，成立，即，因为，所以，
所以，由的任意性及其存在，所以恒成立．
（3）由，得，
展开得，
所以，
即对任意的都成立，所以，
即，由于（当且仅当时，等号成立），
所以，又因为，故．
当时，，；
当时，，．
故函数的“伴随数对”为和，．
【点睛】本题考查新定义，讨论和证明存在问题，意在考查抽象和概括能力，推理论证的能力，和函数与方程的思想，属于难题，本题的关键是读懂题意，并且能从新定义入手，利用不同的函数类型推理论证.
9．（2017·上海市复旦中学高一月考）若的三个内角满足,试判断的形状．(提示:如果需要，也可以直接利用19题阅读材料及结论)
【答案】直角三角形
【分析】利用和差化积公式得到，化简得到得到答案.
【详解】

故为直角三角形.
【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生对于三角函数公式的综合应用.
10．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角再将OP的长度伸长为原来的倍,得到我们把这个过程称为对点P进行一次T,变换得到点例如对点P进行一次变换,得到点
(1)试求对点进行一次变换后得到点的坐标；
(2)已知对点进行一次换后得到点求对点再进行一次变换后得到点的坐标.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到可得的坐标；
（2）计算出，求得，从而得所以，再可求得，根据点的位置得，得，从而求得，，可求得的坐标.
【详解】（1）由已知得变换是将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到所以的坐标是；
（2）因为对点进行一次换后得到点
所以，所以，
所以，
设与轴的正方向的夹角为，则 并且
根据，
因为，所以，所以
，，
所以，所以的坐标为.
【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力，关键在于理解新定义的含义，并能根据定义解决问题，在本题中求出和是关键，属于难度题.
11．（2021·上海高一课时练习）的内角，，所对边分别为，，.已知.
(1) 求；
(2) 若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。
【答案】（1）B=60°；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理，已知条件等式化为角的关系，结合诱导公式和二倍角公式，即可求出结果；
（2）根据面积公式和已知条件面积用表示，再用正弦定理,结合不等式性质，即可求出的范围.
【详解】解：（1）由题设及正弦定理得．
又因为中可得，
,所以，
因为中sinA0，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．

由于△ABC为锐角三角形，
故0°