河南省顶尖名校2021-2022学年高三下学期第二次素养调研理科数学试题及答案

河南省顶尖名校2021-2022学年高三下学期第二次素养调研

理科数学试卷

    本试卷考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：

    1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡上。

    2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的共轭复数为

A．    B．      C．       D．

2．已知集合A＝{x｜x2－2x≥0}，B＝{x｜x＜a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是

    A．a＜0         B．a＞0            C．a＞2           D．a≥2

3．已知，则

    A．－         B．－           C．              D．

4．随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分．下图是2012—2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是

    A．这9年我国快递业务量有增有减

    B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51．4％

    C．这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36％

    D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件

5．已知公差不为零的等差数列{}的前项和为，若－＋＝，则＝

    A．－3          B．            C．            D．

6．已知函数的导数为，则f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的斜率为

    A．－8          B．8              C．12              D．16

7．在西方人们把宽与长之比为（≈0．618）的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例．黄金分割比例符合人类潜意识里的审美观，给人以强烈的视觉美感，因此在绘画、设计、建筑等领域有着广泛的应用．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD，矩形BCFE，矩形EBHG，矩形GEJI，矩形GKLI均为黄金矩形．现从图中随机取一点P，则点P恰好落在黄金矩形GKLI内的概率为

    A．                      B．

    C．                      D．

8．已知函数，若实数m满足≥3，则实数m的取值范围是

    A．[，3]       B．（0，]        C．[1，3]          D．（0，]∪[3，＋∞）

9．一个长方体的平面展开图如图所示，其中AB＝4，AD＝2，DH＝，点M为AB的中点，则将该长方体还原后，AH与CM所成角的余弦值为

    A．                              B．

    C．                            D．

10．已知函数（A＞0，＞0，｜｜＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，得到函数g（x），若g（x）满足＝g（x），则a的最小值为

    A．                             B．

    C．                             D．

11．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，若·＝·，且＝，则C的离心率为

    A．2            B．          C．        D．

12．已知数列{}的前项和为（），＝，＝，记数列{}的前项和为．若对于任意的，不等式≥恒成立，则实数的取值范围为

    A．（0，]                        B．[，1）

C．[，＋∞）                    D．[，＋∞）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.平面内单位向量a,b,c满足a+b+c=0,则a·b=             .

14.若实数x,y满足约束条件,则z=ax+by（a>b>0）取最大值4时，的

最小值为             .

15.孙子定理（又称中国剩余定理）是中国古代求解一次同余式组的方法．问题最早可见于南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题“物不知数”问题：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？它的基本解法之一是：列出用3整除余2的整数：2,5,8,11,14,17,20,23···,用5整除余3的整数：3,8,13,18,23,···,用7整除余2的整数：2,9,16,23.··,则23就是“问物几何？”中“物”的最少件数，“物”的所有件数可用105n+23（n∈N）表示．试问：一个数被3除余1,被4除少1,被5除余4,则这个数最小是             .

16.三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形，面PAB垂直底面ABC,且PA=2PB,则三棱锥P-ABC体积的最大值是             .

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分）

17．（12分）若函数的图象与直线（m为常数）相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.

（1）求函数的解析式；

（2）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，且a、b、c成等比数列，，求的面积.

18．（12分）某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元. 在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数，（，），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．

（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中， 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；

（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；

（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．

19．（12分）如图，菱形与正的边长均为，且平面平面，平面，且，

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

20.（12分）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为。

⑴求椭圆的方程；

⑵设直线交于点，证明：点在定直线上。

21．（12分）已知函数，

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，对，恒有成立，求实数的取值范围.

（二）选做题：本题满分10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22．（10分）已知直线的参数方程为：（为参数），曲线C的极坐标方程为：．

（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）求直线被曲线C截得的弦长．

23．（10分）已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值.

理科数学答案

ADCDB   BADBD   CC

17．【解】（1），的图象与直线相切，且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为.，  ∴ ..........6分

（2）由（1）知  ∴，

∵∴  ∴  又∵a、b、c成等比数列，，，∴ ..........12分

18．【解】

（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有

共9个，

设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件，

且事件所包含的基本事件有共2个，

∴.  ..........4分

（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为，

的可能取值为

，，

．...........7分

∴的分布列为

∴．  ..........9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为.

∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，

∴该机构此次收益期望为元=万元，

∵，

∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. ..........12分

19．【解】

（1）如图，作于，连，

平面平面，，平面，

平面，且，

又平面，且，，且，

故四边形是平行四边形，， 平面，

平面，故平面. ..........5分

（2），菱形，易知，

以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.

则，

有，

设平面的一个法向量为，，

，令，取，

设平面的一个法向量为，由，

，令，取，

则，

由题意知二面角是钝二面角，故二面角的余弦值是. ..........12分

20.【解】⑴当时，直线为，令，得。即椭圆的上顶点为，所以，又的周长为，即，又，解得，所以椭圆的方程为 ..........4分

⑵设，由，消去得，所以

， ..........6分

又，所以直线的方程为，

直线的方程为， ..........7分

联立直线、的方程得

..........9分

由得代入上式，得

，

所以点在定直线上。 ..........12分

（其他解法酌情给分）

21．【解】（1）

因为在上单调递增，所以在恒成立，

即在恒成立，

当时，上式成立，

当，有，需，

而，，，，故

综上，实数的取值范围是..............6分

（2）设，，则，

令，

，在单调递增，也就是在单调递增，

所以.

当即时，，不符合；

当即时，，符合

当即时，根据零点存在定理，，使，有时，，在单调递减，时，，在单调递增，成立，故只需即可，有，得，符合

综上得，..........12分

（二）选做题：本题满分10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22．解：（1）直线的普通方程为 ..........2分

由曲线

得化成直角坐标方程为①  ..........5分

（2）把直线参数方程化为标准参数方程

（为参数） ②，把②代入①得：

整理，得

设其两根为，则

从而弦长为 ..........10分

23．【解】

（Ⅰ）由题意， ，

所以等价于或或.

解得：或，所以不等式的解集为；  ..........5分

（Ⅱ）由(1)可知,当时, 取得最小值, 

所以，即，

由柯西不等式得，

整理得，

当且仅当时,  即时等号成立.

所以的最小值为.     ..............10分