2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（苏教版2019必修第二册）（二）

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2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（苏教版2019必修第二册）（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足z（2﹣i）＝1+4i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（    ）A．       B．       C．          D．【答案】B【解析】由z（2﹣i）＝1+4i，得z＝＝＝，所以复数z的共轭复数为．故选：B．2.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（  ）A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数【答案】B【解析】A样本数据为：42,43,46,52,42,50，其平均数为：，众数为：42，中位数为：，由题可得，B样本数据为：34,35,38,44，34,42，其平均数为：，众数,34，中位数：，所以A、B两样本的下列数字特征：平均数，众数，中位数都不同.   故选:B.3.若从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】从甲，乙，丙，丁4位同学中选出3名代表参加学校会议，共有甲不参加、乙不参加、丙不参加、丁不参加4种基本情况，甲被选中的基本情况有3种，所以甲被选中的概率.   故选：D. 4.若，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【解析】．故选:A．5.在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，设，则在平行四边形ABCD中，因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，所以，又因为，且，所以，所以，解得，所以。故选：B.6.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图形中球的体积与圆柱体积的比为2：3，则球的表面积与圆柱表面积的比为（    ）A. 1：2 B. 2：3 C. 3：4 D. 4：9【答案】B【解析】设球半径为，则圆柱的底面半径为，高为，．  故选：B．7.在中，点在边上，且满足，则的大小为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】设，因为，所以，因为，，，，，化简得，又因为，所以有，解得，又因为，所以，  故选：C.8.已知中，，，若是其内一点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系：
 则，因为，所以，可得 ，，所以 ，,设，因为点是其内一点，所以，，当，时最大为，当时最小为，所以的取值范围是，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ）A．B．复数的虚部为C．若，则复平面内对应的点位于第二象限D．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】AD【解析】A选项，，故A选项正确.B选项，的虚部为，故B选项错误.C选项，，对应坐标为在第三象限，故C选项错误.D选项，表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故D选项正确.10.下列说法正确的是（    ）A. 在中，B. 中，若，则C. 在中，若，则；若，则D. 在中，【答案】ACD【解析】对于A，由正弦定理，可得：，故A正确；对于B，由，可得，或，即，或，，或，故B错误；对于C，在中，由正弦定理可得，因此是的充要条件，故C正确；对于D，由正弦定理，可得右边左边，故D正确．  故选：ACD．11.如图，正方体棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论正确的是（    ）A. 平面B. 始终在同一个平面内C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】ACD【解析】由题可知，正方体棱长为，则平面，而平面，，连接交于点，则，而，平面，平面，由于是线段上的两个动点，则，平面，，又，所以平面，故选项A正确；，，同在平面上，而不在平面上，，不在同一个平面内，故选项B错误；，面，面，平面，故选项C正确；由于，，且，，由于平面，则平面，，由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项D正确.故选：ACD.12.已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点下列结论正确的是（    ）A.                        B. 的面积为C.                      D. 在的外接圆上，则的最大值为【答案】ACD【解析】在中，由余弦定理得，因为，所以.所以，故B错误；在中，，所以，故A正确；因为为的角平分线，由等面积法得，整理得，解得，故C正确；在的外接圆上，如图则，所以在中，记，，由正弦定理得，，又，所以，其中，又因为，所以的最大值为，故D正确.    故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为__________【答案】【解析】简单随机抽样每个个体被抽到的概率，含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为，故答案为：14.已知平面向量，，若，则实数___________.【答案】3【解析由题意知，，∵，∴，∴，即，得.故答案为：3.15.已知正三棱锥的四个顶点在同一个球面上，，，则该三棱锥的外接球的表面积为______；该三棱锥的顶点到面的距离为______.【答案】    (1).     (2). 【解析】设底面三角形的外心为，连接，则该三棱锥的外接球的球心在（或其延长线）上，连接连接BG并延长，交于，连接，由等边三角形的边长，得则,所以设三棱锥的外接球的半径为，则,解得.所以三棱锥的外接球的表面积为又设点到面的距离为，则则得到故答案为：；16.在中，内角所对的边分别为a，b，c，若，则的最小值为________．【答案】【解析】因为所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以的最小值为，当且仅当，即时，的最小值为。故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在平行四边形中，，（1）若为上一点，且，用基底表示；（2）若，，且与平行，求实数的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）（2）因为，所以由于则,所以.18.如图，在西部某边防警戒线上有一笔直的公路上，武警边防支队在点、、处设置了治安卡口，、两点到的距离分别为11千米和32米，某一天，收到来自防控目标的一个特殊无线信号，7秒后、同时接收到该无线信号，已知该特殊无线信号在空气中的传播速度是1千米/秒．（假设该无线信号沿直线传播）（1）求的长度；（2）现要更改卡口的位置，使得卡口能在最短时间内截获到来自处的信号，求此时、两点间的距离．【答案】（1）20千米；（2）12千米．【解析】（1）依题意，设（千米），（千米）．因为，所以   在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得 所以又，解得，所以千米  答：的长度为20千米  （2）作于， 为中点,在中，由，得，∴千米． 答：目标到卡口的距离最小为12千米．19.某医院为促进行风建设，拟对医院的服务质量进行量化考核，每个患者就医后可以对医院进行打分，最高分为100分.上个月该医院对100名患者进行了回访调查，将他们按所打分数分成以下几组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到频率分布直方图，如图所示.（1）求所打分数不低于60分的患者人数；（2）该医院在第二､三组患者中按分层抽样的方法抽取6名患者进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人聘为医院行风监督员，求行风监督员来自不同组的概率.【答案】（1）人；（2）.【解析】（1）由直方图知，所打分值的频率为， 人数为(人)答：所打分数不低于60分的患者的人数为人. （2）由直方图知，第二､三组的频率分别为0.1和0.2，则第二､三组人数分别为10人和20人，所以根据分层抽样的方法，抽出的6人中，第二组和第三组的人数之比为1：2，则第二组有2人，记为；第三组有4人，记为. 从中随机抽取2人的所有情况如下：共15种 其中，两人来自不同组的情况有：共8种  两人来自不同组的概率为                                        答：行风监督员来自不同组的概率为.20.如图，在直三棱柱中，，点，分别是，的中点，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】连接，如图所示，在直三棱柱中，侧面，是平行四边形，因为，分别是，中点，所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（2）因为，为中点，所以.因为三棱柱为直三棱柱，所以面，又面，所以，因为，，，所以面，又因为面，所以，所以二面角的平面角为，因为，，所以，，因为面，面，，所以，所以，即二面角的余弦值为.21.你在①，②外接圆半径为，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________？注：若选择多个条件分别解答，则只按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】方案一：选条件①：，由正弦定理和，得：，则，又由正弦定理和，得：，，由余弦定理得：因为，则，解得：，即，，又，，所以存在这样的三角形，且；方案一：选条件②：外接圆半径为，由正弦定理和，得：，又由正弦定理和，得：，由余弦定理得：，由，得：，由正弦定理，得：，所以存在这样的三角形，且；方案三：选条件③：，由正弦定理和，得：，又由正弦定理和，得：，，由余弦定理得：，由和余弦定理，得：，又由正弦定理和，得：，又，解得：，在中，，，则与矛盾，故不存在这样的三角形.22.如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点.（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；（2）已知平面平面，求证：.【答案】（1）存在，，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）在线段上存在点，当时，平面.证明如下：连接，交于点，连接，则点是的中点，又当，即点是的中点，由中位线定理得，∵平面，平面，∴平面.（2）证明：过作并交于点，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，又∵平面，∴.在直三棱柱中，平面，平面，∴，又∵平面，平面，，∴平面.又∵平面，∴