2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（苏教版2019必修第二册）（六）

2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（苏教版2019必修第二册）（六）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.某中学高三从甲、乙两个班中各选出名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分分)的茎叶如图，其中甲班学生成绩的众数是，乙班学生成绩的中位数是，則的值为（   ）

A. 7 B. 8 C. 9  D. 10

【答案】B

【解析】甲班众数为，故，乙班中位数为，故，所以.故选：B

2.已知向量，满足，且，，则与的夹角为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

，即

，，   故选：D

3.若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】，

，

，

，

.   故选：C.

4.高二年级有男生560人，女生420人，为了解学生职业规划，现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本，则此样本中男生人数为(    )

A．120     B．160         C．280            D．400

【答案】B

【解析】   有男生560人，女生420人，

年级共有，

用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，

每个个体被抽到的概率是，

要从男生中抽取，故选：B．

5.下列命题错误的是（    ）.

A. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面

B. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面

C. 如果平面平面，平面平面，，那么平面

D. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

【答案】A

【解析】结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，

故A不正确，B正确；

如果平面平面，平面平面，，

记是与的交线，是与的交线， a属于，b属于，则a、b在同一个平面内，

a与b不平行就相交，

假设，因为直线a和直线b分别属于和平面，则，

与已知相矛盾，所以a和b必相交，

同理可以证明三条直线a、b、l相交，其交点O同属于、和，点必在上

因为，，则，，所以，故C正确；

假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直，

故如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面，

故D正确；  故选：A.

6.如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（    ）

A．               B．                C．                 D．

【答案】A

【解析】为的中点，且为的中点，所以，，

，，.

因此，，故选：A。

7.如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，且，则该正四棱柱的外接球表面积为（    ）

A.                  B.                C.               D.

【答案】A

【解析】连正四棱柱，

平面为与底面所成角，

，

在中，，

，

正四棱柱的外接球半径为，

其表面积为.    故选:A.

8.在中，，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】由正弦定理边化角公式得

则，即

，，即

，

当，即时，取最大值，故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A. 若cos A＝cos B，则△ABC为等腰三角形

B. 若A＞B，则sin A＞sin B

C. 若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个

D. 若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形

【答案】ABD

【解析】对于A中，因为，又由函数在上为单调递减函数，

所以，可得为等腰三角形，所以A是正确的；

对于B中，由，可得，根据正弦定理可得，

所以，故B是正确的；

对于C中，由余弦定理可得，此时只有一解，所以C不正确；

对于D中，因为，根据正弦定理，可得，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确.    故选：ABD

10.是评估空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图为某地区2019年10月1日到10月12日的日均值（单位：）的统计图，则下列叙述正确的是（    ）

A．该地区这12天中空气质量超标的日期为10月6日

B．该地区这12天日均值的中位数为

C．该地区这12天日均值的平均数为

D．该地区从10月6日到10月11日的日均值持续减少

【答案】AC

【解析】

对于，天中，只有月日的日均值大于，故月日空气质量超标，正确；

对于，天的日均值按照从小到大顺序排列，位于第和第位的日均值为和，故中位数为，错误；

对于，平均数，正确；

对于，月日的日均值大于月日的日均值，错误.   故选：AC.

11.设向量，，则下列叙述错误的是(    )

A．若时，则与的夹角为钝角

B．的最小值为

C．与共线的单位向量只有一个为

D．若，则或

【答案】CD

【解析】对于A选项，若与的夹角为钝角，则且与不共线，则，

解得且，A选项中的命题正确；

对于B选项，，当且仅当时，等号成立，B选项中的命题正确；

对于C选项，，与共线的单位向量为，即与共线的单位向量为或，C选项中的命题错误；

对于D选项，，即，解得，D选项中的命题错误.  故选：CD.

12.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取中点与中点，则下列判断中正确的是（    ）

A. 直线面

B. 与面所成的角为定值

C. 设面面，则有∥

D. 三棱锥体积为定值.

【答案】ABC

【解析】对于A，由中点与中点，得,

得，

由为等腰直角三角形得，由，

面，

得直线面，故A正确；

对于B，由A得，与面所成的角为，为定值，故B正确；

对于C，由A得，，故面，由面，

面面，所以∥，故C正确；

对于D，的面积为定值，

但三棱锥的高会随着点的位置移动而变化，

故D错误.  故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“垂帘画阁画帘垂，谁系怀思怀系谁？”既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中为偶数的概率是_______________

【答案】

【解析】三位数的回文数为，

共有1到9共9种可能，即、、

共有0到9共10种可能，即、、、、

共有个，

其中偶数为是偶数，共4种可能，即，，，，

共有0到9共10种可能，即、、、、

其有个，

三位数的回文数中，偶数的概率；故答案为：．

14.若，则________．

【答案】，

【解析】因为，

所以，

所以.    故答案为:。

15.已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.

【答案】

【解析】画出图形如图，

，

它的几何意义是的长度与在向量的投影的乘积，

由图可知，在处时，取得最大值，，

此时，可得，即最大值为6，

在处取得最小值，此时，

最小值，

因为是边长为2的正六边形内的一点，取不到临界值，

所以的取值范围是．    故答案为：．

16.在中,角、、所对的边分别为、、，，且，则面积的最大值为       ．

【答案】

【解析】，，，，外接圆直径为，由图可知，当在垂直平分线上时，面积取得最大值.设高，则由相交弦定理有，解得，故最大面积为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知，与的夹角为.

（1）若，求；

（2）若与垂直，求.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵，∴与的夹角为或，

当时，，

当时，，

综上所述，；

（2）∵，∴，

即，∵，

∴，∴

∵向量的夹角的范围是，∴

18.设为关于的方程的虚根，虚数单位．

（1）当时，求、的值；

（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围．

【答案】（1）,（2）

【解析】1）当,则

方程的两根分别为:

,即,

（2）当时，方程为 

 ,为方程的两根

设，则，

设，， 故

复数所对应的点为,可得

根据两点间距离公式:

其中，

即的取值范围为:.

19.如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.

（1）求证：平面；

（2）若，，求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）连接，交于点，再连接，

由已知得，四边形为正方形，为的中点，

∵是的中点，∴，又平面，平面，

∴平面；

（2）∵在直三棱柱中，平面平面，且为它们的交线，

又，∴平面，

又∵平面，∴，且，；

同理可得，过作于点，则面，且.

设到平面的距离为，

由等体积法可得：，即，

即，∴.

即点到平面距离为.

20.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题

①；②的面积为；③.

在中，角，，所对的边分别为，，.在已知，为钝角，.

（1）求边的长；

（2）求的值.

【答案】选择条件见解析；（1）；（2）.

【解析】方案一：选择条件①

（1）由，解得，

为钝角，，，

则，

故；

（2），

∴，

∴，，

∴

；

方案二：选择条件②

（1），，∴，

由，解得，

则，

故；

（2），

∴，

∴，，

∴

；

方案三：选择条件③：

（1）为钝角，，，

，，

由，解得，，

则，

故；

（2），

∴，

∴，，

∴

.

21.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人为了解全校学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中学生"按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：，，，，，得其频率分布直方图如图所示.

（1）估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数是多少；

（2）从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；

（3）国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

【答案】（1）人；（2）；（3）该校需要增加初中学生课外阅读时间.

【解析】（1）由分层抽样知，抽取的初中生有名，

高中生有名，

初中生中，阅读时间在小时内的频率为

，

∴所有的初中生中，阅读时间在小时内的学生约有人；

同理，高中生中，阅读时间在小时内的频率为

，

学生人数约有人，

该校所有学生中，阅读时间在小时内的学生人数约有人.

（2）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，至少抽到2名初中生”为事件A，

初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，

样本人数为人；

高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，

样本人数为人

记这3名初中生为A､B､C，这2名高中生为d､e，

则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，所有可能结果共10种，

即：，，，，，，，，，；

而事件A的结果有7种，

它们是：，，，，，，；

∴至少抽到2名初中生的概率为；

（3）初中生平均每阅读时间(小时)，

(小时)，

因，该校需要增加初中学生课外阅读时间.

22.在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．

（Ⅰ）若PC与AB所成角为，求的长；

（Ⅱ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为.

【解析】（Ⅰ）由BCDE为正方形可得

由ABCE为平行四边形可得//

为即

，

侧面底面侧面底面平面

，

，

.

（Ⅱ）取中点，连，

，，

平面，

的平面角，

又，

，

所以二面角的余弦值为．