2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（苏教版2019必修第二册）（三）

2021-2022学年高一数学下学期期末考试仿真模拟卷（苏教版2019必修第二册）（三）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数满足，则的虚部是（    ）

A．-1  B．1

C．  D．

【答案】B

【解析】由，得，

，则的虚部是1．故选:B．

2.将一枚骰子抛掷一次，则向上点数为2的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】一枚骰子抛掷一次，有6种结果，每种结果等可能出现，出现“向上点数为2”的情况只有一种，故所求概率为.  故选:A.

3.某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[35，40)，[40，45)，[45，50)，[50，55），[5，60]，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的人数有（ ）

A. 45            B. 46             C. 48              D. 50

【答案】C

【解析】这80名教师中年龄小于45岁的频率为，

人数为（人），   故选：C.

4.的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】.

故选：B

5.已知球的半径与圆锥的底面半径都为2，若它们的表面积相同，则圆锥的高为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由题意可得球的表面积，设圆锥的高为h，则圆锥的母线，则圆锥的侧面积，所以圆锥的表面积，解得.  故选:B.

6. 某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（    ）

A．或      B．或           C．或     D．

【答案】B

【解析】如图：，，，，

在中由余弦定理可得，

即，所以，即，

解得或，故选:B.

7.如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】分别取、、的中点、、，连接、、、、，如图：

由SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4可得，

所以，，

由中位线的性质可得且，且，

所以或其补角即为异面直线SB与AC所成角，

在中，，

所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为.    故选：A.

8.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】设，因此，又由题意可得，

所以，

因此；

延长交于，

记，，则，所以；

又由题意易知，则，

在三角形中，由正弦定理可得，

即，因此，

，

所以，

因为，所以，即，

整理得，所以.

故选:D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.某人射箭9次，射中的环数依次为：7，8，9，7，6，9，8，10，8，关于这组数据，下列说法正确的是（    ）

A. 这组数据的众数是8

B. 这组数据的平均数是8

C. 这组数据的中位数是6

D. 这组数据的方差是

【答案】ABD

【解析】数据从小到大排列为：，

所以众数为，A选项正确；中位数为，C选项错误；

平均数为，所以B选项正确；

方差为，所以D选项正确.

故选：ABD

10.对于，下列说法中正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则是直角三角形

C. 若，则是等腰三角形

D. 若，则是锐角三角形

【答案】AD

【解析】若，则，故A正确；

若,则，所以B错；

若，则，即，

所以，或，

故是等腰三角形或直角三角形，故C错误；

因为，

所以

是锐角三角形．D正确.   故选：AD．

11.已知在三棱锥P—ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝5cm，AB＝4cm，AC＝3cm，点O为三棱锥P—ABC的外接球的球心，点D为△ABC的外接圆的圆心，下列说法正确的是（    ）

A. 三棱锥P—ABC的体积为10cm3

B. 直线BC与平面PAC所成角的正切值为

C. 球O的表面积为50πcm2

D. OD⊥PA

【答案】ABC

【解析】因为AP，AB，AC两两互相垂直，以AP，AB，AC为棱补成一个长方体，如图，由长方体性质知：

，A正确；

与平面所成角为，，B正确；

长方体的对角线是其外接球也是三棱锥外接球直径，长度为，

球表面积为，C正确，

由外接球性质，平面，而平面，∴，D错． 故选：ABC．

12.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（    ）

A．周长为                B．三个内角，，满足

C．外接圆直径为             D．中线的长为

【答案】ABC

【解析】由正弦定理可得：设，，

，解得：

的周长为，正确；

由余弦定理得：   

    ，即,正确；

由正弦定理知外接圆直径为，正确；

由中线定理得：，即

，错误.    故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知，则的值为________

【答案】

【解析】由题意．故答案为：．

14.已知复数z满足=2+3i(i为虚数单位)，则|z|=___________，复数z的共轭复数在复平面内所对应的点位于第___________象限.

【答案】；    四.   

【解析】由，得，则，

因此复数的共轭复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限．

故答案为：   四.

15.在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为__________．

【答案】

【解析】因为平分，所以，

设，则，，因为，设，

所以，所以，，

因为，所以，即，

在中，，所以，

可得，解得，所以，

所以， ，

所以，故答案为:.

16.在平面四边形中，，，，，，，若点M为边上的动点，则的最小值为________.

【答案】

【解析】如图所示，建立直角坐标系.

由得,由得,

又∵，，∴∠=90°，且2,∠30°.

∴,

作CF⊥AD于F,∵，∴∠DCF=30°，

由,∴，∴,

∵在线段上，故可设,（）

∴,

∴,

当时取得最小值,   故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.已知中是直角，，点是的中点，为上一点．

（1）设，，当，请用，来表示，；

（2）当时，试求．

【答案】（1），；（2）0.

【解析】（1），，点是的中点，

，

，

．

（2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，

设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点，

点坐标为，

又，，，，

所以，，

所以．

18.已知

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，所以，所以，

由，所以，

所以

.

（2）

.

19.如图，在四面体 中，平面平面 ，．， ，．

（1）求和平面所成角的正弦值：

（2）求二面角的正切值．

【答案】（1）；（2）2.

【解析】（1）取中点，连接，

∵，∴

又∵平面平面，平面，

平面平面，∴平面．

∴即为和平面所成的角．

在中，∵，

又∵为中点，∴．

∵，，

∴，，

∵平面，平面，

∴．

在中，，，，

∴．

∴，

即和平面所成角的正弦值为．

（2）过点作，垂足为．

∵平面，平面，∴，

又∵平面，，

∴平面，

又∵平面，∴，

∴ 为二面角平面角．

在中，，，∴．

∴在中，，

∴二面角的正切值为2．

20.在锐角中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且.

（1）求B的大小；

（2）若，点D在边AC上，________，求BD的长.

请在①AD＝DC；②∠DBC＝∠DBA；③BD⊥AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）在中，由正弦定理，及得，

.

因为为锐角三角形，所以，所以.

所以.又因为，所以.

（2）若选①.

在中，由余弦定理，得

，

所以，所以.

在中，由余弦定理，得，

即，

在中，由余弦定理，得，

即.

又，所以.

所以，所以BD＝.

若选②.

在中，，

即，

即，解得.

若选③.

在中，由余弦定理，得

，所以.

因为，又，

所以，解得.

21.某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率.

【答案】（1）0.008；直方图见解析；（2）66.8；（3）.

【解析】（1）由图可得分数在内的频率为

，

，

所以频率分布直方图如下：

（2）本次考试成绩的平均数约为

.

（3）第5组人数为，

第6组人数为

被抽取的成绩在内的4人，分别记为，，，；

成绩在内的3人，分别记为，，；

则从这7人中随机抽取2人的情况为：，，，，，，

，，，，

，，，，，，，

，，，共21种；

被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：，，，

，，，

，，，

，，，

，，，共15种.

故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为：.

22.如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接､交于点，点为中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求点到平面的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】（1）直三棱柱，四边形为平行四边形 

为的中点   为的中点，

又平面，平面，平面

（2）四边形为平行四边形，

平行四边形菱形，即 

三棱柱为直三棱柱    

平面

平面     

，   

，，平面

平面

平面，，

，，平面，

平面，

平面 ，

平面平面 

（3）连接，设点到平面的距离为

平面，平面，

，为三棱锥高，

在直角中，，.

在直角中，，.

在直角中，，，.

在等腰中，，

，

，

点到平面的距离为