人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制巩固练习

5.1任意角和弧度制

1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化； 8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.

一、单选题

1．（2019·伊美区第二中学高一月考）化为弧度是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

2．（2020·广东高一期末）下列各角中，与2019°终边相同的角为（    ）

A．41° B．129° C．219° D．﹣231°

【答案】C

【解析】

因为，

所以与2019°终边相同.

故选：C.

3．（2020·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】B

【解析】

∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.

∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，

故选B.

4．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（    ）

A．4 B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】

圆心角为，设扇形的半径为，

，

解得.

故选：D

5．（2020·永州市第四中学高一月考）在的范围内，与终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为,

则在的范围内，与终边相同的角是,

故选：B.

6．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（    ）．

A．8cm2 B．10cm2 C．12cm2 D．14cm2

【答案】A

【解析】

设扇形的半径为cm，

∵扇形的周长为12cm，圆心角为，

∴，得，

∴此扇形的面积（cm2），

故选：A．

7．（2020·河南林州一中高一月考）已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝(　　)

A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}

C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对

【答案】D

【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，

∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，

对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；

对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；

对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，

故选D．

8．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由得，所以，

故选：C.

9.（2020·山东潍坊�高一期末）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，

根据扇形的面积公式，可得

所以此扇形的面积为.

故选：B.

10．（2020·四川德阳�高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（    ）

（1）曲线不是等宽曲线；

（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；

（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；

（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；

（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】

若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，

（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；

（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；

（3）根据（2）得（3）错误；

（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；

（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，

正三角形的面积，

则一个弓形面积，

则整个区域的面积为，

而圆的面积为，不相等，故错误；

综上，正确的有2个，

故选：B.

二、多选题

11.（2019·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（    ）

A．角是第四象限角 B．角是第三象限角

C．角是第二象限角 D．是第一象限角

【答案】ABCD

【解析】

对于如图1所示，角是第四象限角；

对于如图2所示，角是第三象限角；

对于如图3所示，角是第二象限角；

对于如图4所示，角是第一象限角.

故选：.

12．（2020·全国高一课时练习）下列与角的终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【解析】

因为，

所以与角的终边相同角为，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

综上，选项A、C、D正确.

故选：ACD.

13．（2020·全国高一课时练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（    ）

A． B．

C． D．

E.

【答案】BE

【解析】假设、为内的角，

如图所示，因为、的终边关于轴对称，所以，所以B满足条件；

结合终边相同的角的概念，可得，所以E满足条件，ACD都不满足条件．

故选：BE.

14．（2020·重庆高一月考）设是第三象限角，则所在象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】BD

【解析】是第三象限角，

，，

则，，

令，

有，；在二象限；

，，

有，；在四象限；

故选：B．

三、填空题

15．（2020·宁县第二中学高一期中）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.

【答案】.

【解析】

在范围内，终边落在阴影内的角满足：或

满足题意的角为：

，，

本题正确结果：

16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为         ．

【答案】4

【解析】

设扇形半径为，弧长为，则，解得．

17．（2020·上海杨浦�复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度

【答案】

【解析】

设扇形的所在圆的半径为，圆心角为，

因为扇形的面积为1，弧长也为1，

可得，即，解得.

故答案为：

四、双空题

18．（2020·上海高一课时练习）_________弧度；弧度=________.

【答案】    80°   

【解析】

根据角度制与弧度制的互化公式，

可得，.

故答案为：，.

19．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是负角；

③小于180°的角是钝角或直角或锐角.

其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)

（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.

【答案】②       

【解析】

（1）①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；

②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；

③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；

故答案为：②

（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为

故答案为：

20．（2020·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．

【答案】6    12π﹣9   

【解析】

∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.

∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，

∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，

∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．

故答案为：6，12π﹣9．

21．（2019·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.

【答案】2    100   

【解析】

设扇形半径为，则其弧长为，，∴．

∴，

∴时，．此时圆心角为．

故答案为：2；100．

五、解答题

22．（2020·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析

【解析】

与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．

∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴ (k∈Z)，故取k＝4,5,6.

k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；

k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；

k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.

23.（2020·全国高一课时练习）写出终边在直线上的角的集合.

【答案】

【解析】

直线的倾斜角为，

所以终边在直线上的角为或，

，

综合得终边在直线上的角为，

所以终边在直线上的角的集合为.

24.（2020·全国高一课时练习）已知为第二象限角，则是第几象限角？

【答案】第一或第三象限角

【解析】

∵是第二象限角，∴，

∴

.当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．

所以第一或第三象限角.

点睛:

确定终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；

(2)写出的范围；(3)根据的可能取值讨论确定的终边所在位置

25．（2020·全国高一课时练习）已知如图．

（1）写出终边落在射线、上的角的集合；

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．

【答案】（1）终边落在射线上的角的集合为，终边落在射线上的角的集合为；

（2）.

【解析】

（1）终边落在射线上的角的集合是，

终边落在射线上的角的集合；

（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.

26．（2020·全国高一课时练习）已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：

（1）弧AB的长；

（2）扇形所含弓形的面积.

【答案】（1）4π；（2）12π－9.

【解析】

（1）l＝α·R＝π×6＝4π，

所以弧AB的长为4π.

（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.

如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，

所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，

于是有S△OAB＝×AB×OD

＝×2×6cos 30°×3＝9.

所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.

所以弓形的面积是12π－9.

27．（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.

（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则

，，，

.

（2）设扇形弧长为l，则，即，

∴扇形面积，

∴当时，S有最大值，此时，.

因此当时，这个扇形面积最大.

点睛:

当周长C为定值时可得面积

当面积为定值时可得周长.