高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第4课时课后复习题

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课时素养检测

十四　余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题

(30分钟　55分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°,此人往金字塔方向走了80米到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)              (　　)

A.110米　   B.112米   C.220米　   D.224米

【解析】选A.如图,令CD为金字塔,AB=80米.

设CD=h米,则由已知得(80+h)×=h,

h=40(+1)≈109(米).从选项来看110米最接近.

2.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为              (　　)

A.10 m    B.20 m

C.20 m    D.40 m

【解析】选D.设AB=x m,则BC=x m,BD=x m,

在△BCD中,由余弦定理,得BD2=BC2+CD2-

2BC·CDcos 120°,所以x2-20x-800=0,

所以x=40(m).

3.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D,测得∠BDC=45°,则塔AB的高是              (　　)

A.5 m    B.10 m

C.5 m    D.10 m

【解题指南】在△BCD中,由正弦定理求出BC⇒

在Rt△ABC中求得AB.

【解析】选B.在△BCD中,CD=10,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∠DBC=

30°,

由正弦定理,得=,

BC==10.

在Rt△ABC中,tan 60°=,

AB=BCtan 60°=10(m).

4.飞机沿水平方向飞行,在A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°,向前飞行10 000 m到达B处,此时测得正前下方目标C的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为              (　　)

A.2 500(-1) m   B.5 000 m

C.4 000 m     D.4 000 m

【解析】选A.如图,∠BAC=30°,

∠DBC=75°,AB=10 000,

所以∠ACB=45°.

由正弦定理,得=,又cos 75°=,

所以BD=·cos 75°

=2 500(-1)(m).

5.如图,为测量出山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100 m,则山高MN为              (　　)

A.100 m    B.150 m

C.200 m    D.250 m

【解析】选B.在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100 m,

所以AC=100 m.

在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,

从而∠AMC=45°

由正弦定理得=,

因此,AM=100 m.

在Rt△MNA中,AM=100 m,∠MAN=60°,

由=sin 60°,得MN=100×=150 m.

二、填空题(每小题5分,共10分)

6.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm, AB= mm,则∠ACB=________. 

【解析】在△ABC中,由余弦定理的推论得

cos∠ACB==-.

因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.

答案:

7.如图,为了测量河对岸的塔高AB,有不同的方案,其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D,测得CD=200 m,在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°,且∠CBD=30°,则塔高AB=____m. 

【解析】在Rt△ABC中,∠ACB=45°,设AB=h m,则BC=h m,

在Rt△ABD中,∠ADB=30°,所以BD=h m,在△BCD中,∠CBD=30°,CD=200 m,

由余弦定理可得40 000=h2+3h2-2h·h·,所以h=200,

所以塔高AB=200 m.

答案:200

三、解答题(每小题10分,共20分)

8.如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距6海里的C处的乙船,乙船立即朝北偏东(θ+30°)的方向沿直线前往B处营救,求sin θ的值.

【解析】连接BC,由已知得AC=6,AB=10,∠BAC=120°,

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos 120°=100+36-2×10×6×=196,所以BC=14,

由正弦定理得=,即=,

解得sin C=,所以sin θ=.

9.如图,为测量竖直旗杆CD高度,在旗杆底部C所在水平地面上选取相距

4 m的两点A,B,在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上,旗杆顶部D的仰角为60°;在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上,旗杆顶部D的仰角为45°,求旗杆CD高度.

【解析】设CD=x,

在Rt△BCD,∠CBD=45°,所以BC=x,

在Rt△ACD,∠CAD=60°,所以AC==,

在△ABC中,∠CAB=20°,∠CBA=10°,

所以∠ACB=180°-20°-10°=150°,

由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 150°,又AB=4,

即(4)2=x2+x2+2··x·=x2,

解得x=12.所以旗杆高12米.

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.某人在C点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D点测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为              (　　)

A.15米   B.5米    C.10米    D.12米

【解析】选C.如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,

∠ACO=45°,则OC=OA=h.在Rt△AOD中,

∠ADO=30°,则OD=h,

在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,

由余弦定理,

得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,

即(h)2=h2+102-2h×10×cos 120°,

所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).

2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是              (　　)

A.50 m　 B.100 m C.120 m　D.150 m

【解析】选A.如图,设水柱的高度是h m,水柱底端为C,

则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC= h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2×h×100×cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50或h=-100(舍去),故水柱的高度是50 m.

3.(多选题)一船向正北航行,看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,此时离最近的灯塔为a n mile,设这艘船的速度是每小时v n mile,则              (　　)

A.a=5     B.a=10

C.v=10    D.v=10

【解析】选BC.如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,

所以∠CAD=∠CDA=15°,

从而CD=CA=10,在Rt△ABC中,

求得AB=5,BC=5,

所以这艘船的速度是=10(n mile/h),即v=10.

4.如图是一个斜拉桥示意图的一部分,AC与BD表示两条相邻的钢缆,A,B与C,D分别表示钢缆与桥梁与主塔上的铆点,两条钢缆的仰角分别为α,β,为了便于计算,在点B处测得C的仰角为γ,若AB=m,则CD=              (　　)

A.    B.

C.    D.

【解析】选D.在△ABC中,由正弦定理,可得

=,可得BC=,

在△BCD中,

由正弦定理,可得=,

CD=·BC=.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.两船同时从A港出发,甲船以每小时20 n mile的速度向北偏东80°的方向航行,乙船以每小时12 n mile的速度向北偏西40°方向航行,一小时后,两船相距______n mile. 

【解析】如图,△ABC中,AB=20,AC=12,

∠CAB=40°+80°=120°,由余弦定理,

得BC2=202+122-2×20×12·cos 120°=784,

所以BC=28(n mile).

答案:28

6.有一长为10 m的斜坡,它的倾斜角是75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延伸________m. 

【解析】如图,在△ABC中,由正弦定理,

得=,所以x=10(m).

答案:10

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P(观察站高度忽略不计),上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°方向,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°方向,俯角为60°的C处.

(1)求船的航行速度是每小时多少千米?

(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?

【解析】(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,AP=1,

所以AB=APtan 60°=.

在Rt△PAC中,∠APC=30°,所以AC=APtan 30°=.

在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,所以BC===.

则船的航行速度为÷=2(千米/时).

(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA

=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===,sin∠CDA=sin(∠ACB-30°)

=sin∠ACB·cos 30°-cos∠ACB·sin 30°

=×-=.

由正弦定理得=,

所以AD===.故此时船距岛A有千米.

8.某海轮以30海里/小时的速度航行,在点A测得海上面油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶40分钟到达C点.

(1)求PC间的距离;

(2)在点C测得油井的方位角是多少?

【解题指南】(1)在△ABP中,根据正弦定理,求BP,再利用勾股定理算出PC的长,即可算出P,C两地间的距离;(2)根据内错角相等可证明CP∥AB,从而可得出结论.

【解析】(1)在△ABP中,AB=30×=20,

∠APB=30°,∠BAP=120°,

根据正弦定理得:=⇒BP=20,

在△PBC中,BC=30×=20,

由已知∠PBC=90°⇒PC=40.

(2)在△PBC中,∠PBC=90°,BC=20,PC=40,

所以sin∠BPC=,

所以∠BPC=30°.

因为∠ABP=∠BPC=30°,所以CP∥AB.

所以在点C测得油井P在C的正南40海里处.

【补偿训练】

　　　位于A处的雷达观测站,发现其北偏东45°,与A相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶,20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ (0°<θ<45°)的C处,AC=5.在离观测站A的正南方某处E,cos∠EAC= -.

(1)求cos θ.

(2)求该船的行驶速度v(海里/小时).

【解题指南】(1) 先根据同角三角函数关系得sin∠EAC,再根据θ=-∠EAC,并利用两角差余弦公式得结果.

(2)根据余弦定理求BC,再除以时间得速度.

【解析】(1)因为cos∠EAC=-,

所以sin∠EAC==,

cosθ=cos=cos·cos∠EAC+

sin·sin∠EAC

=-×+×=.

(2)利用余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosθ=125,所以BC=5,

该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里,

该船的行驶速度v==15(海里/小时).

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