高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念课时训练

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课时素养检测

十六　复数的几何意义

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知复数z在复平面上对应的点为(1,-1),则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.z=-1+i       B.z=1+i

C.z+i是实数      D.z+i是纯虚数

【解析】选C.因为复数z在复平面上对应的点为(1,-1),所以z=1-i.所以z+i=1-i+i=1,所以z+i是实数.

2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项中正确的是 (　　)

A.z1>z2       B.z1<z2

C.|z1|>|z2|      D.|z1|<|z2|

【解析】选D.因为复数不能比较大小,所以A,B不正确,又|z1|== ,|z2|==,

所以|z1|<|z2|,故C不正确,D正确.

3.向量对应的复数为z1=-3+2i,对应的复数为z2=1-i,则|+|为 (　　)

A.   B.   C.2   D.

【解析】选A.因为z1=-3+2i,z2=1-i,

所以=(-3,2),=(1,-1),

则+=(-2,1),

所以|+|==.

4.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则等于(　　)

A.2+I           B.2-i

C.-2+i          D.-2-i

【解析】选B.点Z(2,1)对应复数z=2+i,与z互为共轭复数,对应的两点关于实轴对称,所以=2-i.

5.在复平面内,对应的复数是2+i,对应的复数是-1-3i,则对应的复数为 (　　)

A.1-2i          B.-1+2i

C.3+4i          D.-3-4i

【解析】选D.由题意知=(2,1),=(-1,-3).=+=(-1,-3)+(-2,-1)=

(-3,-4),所以对应的复数为-3-4i.

6.(多选题)下列关于复数z=a+bi,a,b∈R的说法正确的是 (　　)

A.=a-bi

B.若=z,则b=0

C.若|z|=0,则z=0

D.若|z|≠0,则ab≠0

【解析】选ABC.由复数z=a+bi,a,b∈R,得=a-bi,选项A正确;若=z,则a+bi

=a-bi,b=-b,所以b=0,选项B正确;若|z|=0,则a2+b2=0,所以a=b=0,z=0,选项C正确;若|z|≠0,则a2+b2≠0,所以a,b至少有一个不为0,选项D不正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知复平面内,点(2cos 300°,2sin 300°)对应的复数为z,则z=________,|z|=________. 

【解析】由点的坐标(2cos 300°,2sin 300°),

得(1,-),对应的复数为z=1-i,|z|=2.

答案:1-i　2

8.复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则向量对应的复数的实部为________,虚部为________. 

【解析】复平面上,实轴上的点A(3,0)与虚轴上的点B(0,-4),则=(-3,-4),对应的复数z=-3-4i的实部为-3,虚部为-4.

答案:-3　-4

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知z=x+yi,x,y∈R,若2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.

(1)求实数x,y的值;

(2)求.

【解析】(1)因为x,y为实数,所以2x-1,y+1,x-y,-x-y都为实数,

由复数相等的充要条件得

解得

(2)=x-yi=3+2i.

10.已知复数z满足|z+1-i|=1,求|z|的最大值和最小值.

【解析】设复数z对应向量,复数z1=-1+i对应向量,由|z+1-i|=|z-(-1+i)|

=1,得|-|=||=1,所以动点Z的轨迹是以C(-1,1)为圆心,半径为1的圆,所以复数z对应的点的轨迹是以-1+i对应的点C为圆心,以1为半径的圆,画出方程|z+1-i|=1表示的轨迹,如图,

而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离,由平面几何知识可知,使圆上的点到原点距离取最大(最小)值的点在直线OC与圆的交点处.

所以|z|最大值为|OC|+r=+1,

最小值为|OC|-r=-1.　　　　　　　

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)设复数z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是(　　)

A.复数z对应的点在第一象限

B.复数z可能是纯虚数

C.复数z对应的点在实轴上方

D.复数z一定是实数

【解析】选BC.因为z的虚部t2+2t+2=(t+1)2+1恒为正,所以z对应的点在实轴上方,且z一定是虚数,排除D.

又z的实部2t2+5t-3=(t+3)(2t-1)可为正、为零、为负,所以选项A不正确.当t=-3或时B正确.

2.欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e-2i表示的复数在复平面中位于(　　)

A.第一象限        B.第二象限

C.第三象限        D.第四象限

【解析】选C.e-2i=cos(-2)+isin(-2),对应点为(cos(-2),sin(-2)),由于-π<-2<-,因此cos(-2)<0,sin(-2)<0,所以点(cos(-2),sin(-2))在第三象限.

3.(多选题)复平面内,下列关于复数的叙述正确的是 (　　)

A.原点对应的复数是0

B.纯虚数对应的点在虚轴上

C.实轴上的点对应的复数是实数

D.虚轴上的点对应的复数是虚数

【解析】选ABC.复平面内,原点对应的复数是0,选项A正确.纯虚数对应的点在虚轴上,选项B正确.实轴上的点对应的复数是实数,选项C正确.虚轴上除原点以外的点对应的复数是虚数,选项D错误.

4.设复数z=m(3+i)-(2+i)(m∈R,i为虚数单位).在复平面内对应的点不可能位于(　　)

A.第一象限        B.第二象限

C.第三象限        D.第四象限

【解析】选B.复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点P(3m-2,m-1).

当m>1时P在第一象限;

当m<时P在第三象限;

当<m<1时P在第四象限;

当m=时P在y轴上;

当m=1时P在x轴上.

【补偿训练】

设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+itan B对应的点位于复平面的              (　　)

A.第一象限　　　      B.第二象限

C.第三象限          D.第四象限

【解析】选B.因为A,B为锐角三角形的两个内角,

所以A+B>,即A>-B,sin A>cos B.cos B-tan A

=cos B-<cos B-sin A<0,

又tan B>0, 所以点(cos B-tan A,tan B)在第二象限.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.复平面内,点(2,3)对应的复数的共轭复数为______. 

【解析】复平面内,点(2,3)对应的复数z=2+3i,共轭复数为=2-3i.

答案:2-3i

6.复数z1=3与z2=2-i对应的两点间的距离为______. 

【解析】复数z1=3与z2=2-i对应的两点Z1(3,0),Z2(2,-)间的距离为|Z1Z2|==2.

答案:2

7.已知z-|z|=-1+i,则复数z=______. 

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),

由题意得x+yi-=-1+i,

即(x-)+yi=-1+i,

所以

解得

所以z=i.

答案:i

8.已知复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,且z≠0,则a的值为________. 

【解析】由题意,得a2-2a=0,

得a=0或a=2.

当a=2时z=0,与题意不符.

答案:0

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.

【解析】因为复数z对应的点在第一象限.

所以

解得m<或m>.

所以实数m的取值范围为

∪.

10.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.

【解析】因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=

-+mi(m∈R),所以a=(-3,0),b=.

又a,b的夹角为60°,

所以cos 60°=,

即=,解得m=±.

11.设复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,x,a∈R,当x在内变化时,求|z|的最小值g(a).

【解析】|z|2=(2x+a)2+(2-x+a)2

=22x+2-2x+2a(2x+2-x)+2a2.

令t=2x+2-x,则t≥2,且22x+2-2x=t2-2.

从而|z|2=t2+2at+2a2-2=(t+a)2+a2-2,

当-a≥2,即a≤-2时,g(a)=;

当-a<2,即a>-2时,g(a)==|a+1|.

综上可知g(a)=

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