人教A版 (2019)7.2 复数的四则运算课后复习题

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课时素养检测

十八　复数的乘、除运算

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.(2020·全国Ⅰ卷)若z=1+i,则|z2-2z|= (　　)

A.0       B.1

C.       D.2

【解析】选D.由z=1+i得,z2=2i,2z=2+2i,

所以|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.

2.(2019·全国卷Ⅱ)设z=i(2+i),则= (　　)

A.1+2i　　     B.-1+2i　　

C.1-2i　 　     D.-1-2i

【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,则=-1-2i.

3.(2018·北京高考)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于 (　　)

A.第一象限     B.第二象限

C.第三象限     D.第四象限

【解析】选D.复数z==

===+i,

所以z的共轭复数=-i,

对应的点为,位于第四象限.

4.已知i为虚数单位,z=i2 019+i2 020的共轭复数为 (　　)

A.1+i        B.1-i

C.-1+i       D.-1-i

【解析】选A.因为z=i2 019+i2 020=i4×504+3+i4×505=i3+1=1-i,所以z的共轭复数为1+i.

5.设复数z的共轭复数是,若复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1·是实数,则实数t等于              (　　)

A.         B.

C.-        D.-

【解析】选A.因为z2=t+i,所以=t-i.z1·=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i,

又因为z1·∈R,所以4t-3=0,所以t=.

6.(多选题)对于非零复数a,b,以下四个命题一定为真的有 (　　)

A.a+≠0

B.(a+b)2=a2+2ab+b2

C.若|a|=|b|,则a=±b

D.若a2=ab,则a=b

【解析】选BD.对于A,取a=-i,则a+=0,A不正确;对于B,对于任意复数a,b,一定有(a+b)2=a2+2ab+b2, B正确;对于C,取a=1,b=i,|a|=|b|,但a≠±b,C错误;对于D,由a2=ab及a≠0,得a=b,D正确.所以正确的命题是BD.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.(1+i)2-=________. 

【解析】(1+i)2-=2i-=-+i.

答案:-+i

8.(2018·江苏高考)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为________. 

【解析】设z=a+bi,则i·(a+bi)

=ai+bi2=ai-b=1+2i,

故a=2,b=-1,故z=2-i,实部为2.

答案:2

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.

【解析】z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i, z2===

=+i.由于z1和z2互为共轭复数,所以有解得

10.若f(z)=2z+-3i,f(+i)=6-3i,求f(-z).

【解析】因为f(z)=2z+-3i,

所以f(+i)=2(+i)+()-3i

=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.

又因为f(+i)=6-3i,所以2+z-2i=6-3i.

设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,

所以2(a-bi)+(a+bi)=6-i,即3a-bi=6-i.

由复数相等的定义,得

解得所以z=2+i,

故f(-z)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.在复平面内,复数+(1+i)2对应的点位于 (　　)

A.第一象限      B.第二象限

C.第三象限      D.第四象限

【解析】选B.+(1+i)2=+i+(-2+2i)=-+i,对应点在第二象限.

2.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是 (　　)

A.若|z1-z2|=0,则=

B.若z1=,则=z2

C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·

D.若|z1|=|z2|,则=

【解析】选D.A项,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒=,真命题;B项,z1=⇒=z2,真命题;

C项,|z1|=|z2|⇒|z1|2=|z2|2⇒z1·=z2·,真命题;

D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即≠,假命题.

3.(多选题)下列叙述正确的是 (　　)

A.方程3x2-2x+1=0的两个根互为共轭虚数

B.设i是虚数单位,则复数i3-=i

C.a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充要条件

D.a=6是复数为纯虚数的充要条件

【解析】选ABD.方程3x2-2x+1=0的Δ<0,两个根为共轭虚数,选项A正确.

i3-=-i-=-i-=-i+2i=i,选项B正确.

因为复数(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i为实数的充要条件是a=±1,

所以a=1是复数(a+i)(1-ai)为实数的充分不必要条件,选项C不正确.

因为=,

所以当a=6时,复数为纯虚数,反之成立,选项D正确.

4.已知集合M=,i是虚数单位,Z为整数集,则集合Z∩M中的元素个数是(　　)

A.1    B.2    C.3    D.4

【解析】选C.由已知得M={-1,-i,0,2},Z为整数集,

所以Z∩M={-1,0,2},即集合Z∩M中有3个元素.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.已知i为虚数单位,则=________. 

【解析】===-1.

答案:-1

6.已知i是虚数单位,z=,则|z|=________. 

【解析】因为==i,

所以z==·

=i1 009·=i4×252+1·=i·=-+i,

|z|=1.

答案:1

7.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是________. 

【解析】由已知得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),

所以解得所以λ+μ=1.

答案:1

8.设x,y为实数,且+=,则x+y=________. 

【解析】+=可化为+=,即+i

=+i,由复数相等的充要条件知

所以所以x+y=4.

答案:4

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.已知复数z满足|z|=5,且(3+4i)z是纯虚数,求z.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),因为|z|=5,

所以x2+y2=25,又(3+4i)z=(3+4i)(x+yi)

=(3x-4y)+(4x+3y)i是纯虚数,

所以解得或,

所以z=4+3i或z=-4-3i.

10.设z为虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.

【证明】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),于是z+=a+bi+=a+bi+

=+i,

所以b≠0,(z+)∈R⇔b-=0⇔a2+b2

=1⇔|z|=1.

11.若虚数z同时满足下列两个条件:

①z+是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.

这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.

【解题指南】假设存在虚数满足题意,设虚数的代数形式,代入运算,看解方程组是否有解.

【解析】假设存在虚数z满足题意,设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),z+=

a+bi+=a+bi+=+i.

因为z+是实数,所以b-=0.

又因为b≠0,所以a2+b2=5.①

又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,

所以a+3+b=0.②

由①②得

解得或

故存在虚数z,z=-1-2i或z=-2-i.

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