人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系当堂检测题

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课时素养检测

二十四　平　　面

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作              (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.A∈b∈β       B.A∈b⊂β

C.A⊂b⊂β       D.A⊂b∈β

【解析】选B.点A在直线b上,所以A∈b;直线b在平面β内,所以b⊂β.

2.若一直线a在平面α内,则正确的作图是 (　　)

【解析】选A.B中直线a不应超出平面α;C中直线a不在平面α内;D中直线a与平面α相交.

3.下列命题中,正确的是 (　　)

A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面

B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面

C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面

D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面

【解析】选B.因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.

4.两个平面若有三个公共点,则这两个平面 (　　)

A.相交        B.重合

C.相交或重合      D.以上都不对

【解析】选C.若这三个点不共线,则这两个平面重合;若这三个点共线,则这两个平面相交.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.用符号语言表示以下各概念:

①点A,B在直线a上________; 

②直线a在平面α内________. 

答案:①A∈a,B∈a　②a⊂α

6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上). 

【解析】图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,根据两条平行直线可以确定一个平面知①正确.分析可知③中四点共面,②④中四点均不共面.

答案:①③

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.

【证明】已知α∩β=l1,β∩γ=l2,α∩γ=l3,且l1,l2,l3两两不平行.

求证:l1,l2,l3必交于一点.

证明:因为l1⊂β,l2⊂β,l1与l2不平行,

所以l1∩l2=P,

因为P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ,

所以P∈α∩γ=l3,

故l1,l2,l3交于一点.

8.如图所示,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.

【证明】因为AB∥CD,所以AB,CD共面,设为平面β,所以AC在平面β内,即E在平面β内.

而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,可知B,D,E为平面α与平面β的公共点,

根据基本事实3可得,B,D,E三点共线.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.下列说法正确的是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①任意三点确定一个平面;②圆上的三点确定一个平面;③任意四点确定一个平面;④两条平行线确定一个平面.

A.①②   B.②③   C.②④   D.③④

【解析】选C.不共线的三点确定一个平面,所以①错;圆上的三点一定不共线,所以可以确定一个平面,②对;如果四点共线,无法确定平面,所以③错;根据推论3,两条平行线确定一个平面,所以④对.

2.如图所示,用符号语言可表述为 (　　)

A.α∩β=m,n⊂α,m∩n=A

B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A

C.α∩β=m,n⊂α,A⊂m,A⊂n

D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n

【解析】选A.平面α与平面β相交于m,所以α∩β=m;直线n在平面α内,所以n⊂α;直线m与直线n相交于A,所以m∩n=A.

3.如果点A在直线l上,而直线l又在平面α内,那么可以记作 (　　)

A.A⊂l,l⊂α      B.A⊂l,l∈α

C.A∈l,l∈α      D.A∈l,l⊂α

【解析】选D.点A在直线l上记作A∈l,l在平面α内,记作l⊂α.

4.(多选题)用一个平面截正方体所得的截面图形可能是 (　　)

A.六边形       B.五边形

C.菱形       D.直角三角形

【解析】选ABC.正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形.

5.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C∉l,直线AD∩l=D,过A、B、C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过              (　　)

A.点A         B.点B

C.点C,但不过点D     D.点C和点D

【解析】选D.A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C、D∈γ,且C、D∈β,故C,D在γ和β的交线上.

6.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是              (　　)

①P∈a,P∈α⇒a⊂α;②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β;

③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;

④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.

A.①②   B.②③   C.①④   D.③④

【解析】选D.当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,所以①错;

a∩β=P时,②错;

如图,因为a∥b,P∈b,所以P∉a,所以由直线a与点P确定唯一平面α.

又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,

所以β与α重合,所以b⊂α,故③正确;

两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是________. 

【解析】因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈直线DE.

答案:P∈直线DE

8.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是________. 

【解析】因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=CD.

因为l∩α=O,所以O∈α. 又因为O∈AB⊂β,所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.

答案:共线

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.

【解析】很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.

由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,因为E∈AC,AC⊂平面SAC,

所以E∈平面SAC.同理,可证E∈平面SBD.

所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.

10.如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出直线l的位置;

(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.

【解析】(1)延长DM交D1A1的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位置.

(2)因为M为AA1的中点,AA1∥DD1,

所以AD=A1E=A1D1=a.

因为A1P∥D1N,且D1N=a,

所以A1P=D1N=a,

于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.

11.已知:a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线.求证:a,b,c,d共面.

【证明】(1)有三线共点的情况,如图.

设b,c,d三线相交于点K,

与a分别交于N,P,M且K∉a.因为K∉a,

所以K和a确定一个平面,设为α.

因为N∈a,a⊂α,所以N∈α所以NK⊂α,即b⊂α.

同理,c⊂α,d⊂α,所以a,b,c,d共面.

(2)无三线共点情况,如图.

设a∩d=M,b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q,a∩c=R,b∩c=S.

因为a∩d=M,所以a,d可确定一个平面α.

因为N∈d,Q∈a,所以N∈α,Q∈α.

所以NQ⊂α,即b⊂α.

同理,c⊂α,所以a,b,c,d共面.

由(1)(2)可知,a,b,c,d共面.

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