人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行课后练习题

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课时素养检测

二十八　平面与平面平行

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知平面α∥平面β,过平面α内的一条直线a的平面γ,与平面β相交,交线为直线b,则a,b的位置关系是              (　　)

A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定

【解析】选A.两平行平面α,β被第三个平面γ所截,则交线a,b平行.

2.已知α∥β,a⊂α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中 (　　)

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

【解析】选D.由直线a与点B确定一个平面,记为γ,设γ∩β=b,因为α∥β,a⊂α,所以a∥β.所以a∥b.只有一条.

3.下列说法正确的个数是 (　　)

①两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行;

②如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行;

③平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例.

A.1   B.2   C.3   D.0

【解析】选A.①错误,这两条相等的线段可能相交或异面;②错误,直线可能在另一个平面内;③正确.

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1, BB1,CC1,C1D1的中点,则下列结论中正确的是              (　　)

A.AD1∥平面EFGH

B.BD1∥GH

C.BD∥EF

D.平面EFGH∥平面A1BCD1

【解析】选D.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,在A中,BC1与平面EFGH相交,又AD1∥BC1,故AD1不平行于平面EFGH,故A错误;

在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,

故BD1不可能平行于GH,故B错误;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD与EF不可能平行,故C错误;

在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正确.

5.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点(含边界),且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是(　　)

A.平面

B.直线

C.线段,但只含1个端点

D.圆

【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,

所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).

6.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,以下说法正确的是              (　　)

A.BM∥平面ADE

B.CN∥平面BAF

C.平面BDM∥平面AFN

D.平面BDE∥平面NCF

【解析】选ABCD.以ABCD为下底还原正方体,如图所示,

则易判定四个说法都正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.设平面α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,直线AB与CD交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34,当点S在平面α,β之间时,CS等于________. 

【解析】如图,由题意知,△ASC∽△BSD,

因为CD=34,所以SD=34-CS.

由AS∶BS=CS∶(34-CS)知,

8∶9=CS∶(34-CS),所以CS=16.

答案:16

8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是________;与平面A1B1C1D1和平面A1B1BA都平行的棱是________. 

【解析】观察图形,根据直线与平面平行的判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1B1C1D1与平面ADD1A1;因为平面A1B1C1D1与平面A1B1BA的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC.

答案:平面A1B1C1D1与平面ADD1A1　DC

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.

(1)求证:平面MNG∥平面ACD.

(2)求S△MNG∶S△ADC.

【解析】(1)连接BM,BN,BG并延长分别交AC,AD,CD于P,F,H;

因为M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心,

所以===,且P,H,F分别为AC,CD,AD的中点.连接PF,FH,PH,有MN∥PF.

又PF⊂平面ACD,MN⊄平面ACD,所以MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD,MG∩MN=M,

所以平面MNG∥平面ACD.

(2)由(1)可知==,

所以MG=PH.又PH=AD,所以MG=AD;

同理NG=AC,MN=CD.

所以△MNG∽△DCA,其相似比为1∶3,

所以S△MNG∶S△ACD=1∶9.

10.如图,平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且=.

求证:EF∥平面β.

【证明】(1)若直线AB和CD共面,

因为α∥β,平面ABDC与α,β分别交于AC,BD,

所以AC∥BD.又=,

所以EF∥AC∥BD.所以EF∥平面β.

(2)若AB与CD异面,如图所示,连接BC并在BC上取一点G,使得=,则在△BAC中,EG∥AC,而AC⊂平面α,

EG⊄平面α,所以EG∥α.又α∥β,所以EG∥β.

同理可得GF∥BD,而BD⊂β,GF⊄β,

所以GF∥β.又EG∩GF=G,所以平面EGF∥β.

又EF⊂平面EGF,所以EF∥平面β.

综合(1)(2)得EF∥平面β.

【补偿训练】

　　　在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD和B1C的中点.求证:

(1)MN∥平面CC1D1D.

(2)平面MNP∥平面CC1D1D.

【证明】(1)连接AC,CD1.因为四边形ABCD为正方形,N为BD中点,所以N为AC中点.

又因为M为AD1中点,所以MN∥CD1.

因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.

(2)连接BC1,C1D.因为四边形BB1C1C为正方形,P为B1C中点,所以P为BC1中点,又因为N为BD中点,所以PN∥C1D.

因为PN⊄平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,

所以PN∥平面CC1D1D,由(1)知MN∥平面CC1D1D,

又MN∩PN=N,所以平面MNP∥平面CC1D1D.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α,m∥β,若使α∥β成立,则需增加条件              (　　)

A.n是直线且n⊂α,n∥β

B.n,m是异面直线,n∥β

C.n,m是相交直线且n⊂α,n∥β

D.n,m是平行直线且n⊂α,n∥β

【解析】选C.要使α∥β成立,需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行,n,m是相交直线且n⊂α,n∥β,m⊂α,m∥β,由平面和平面平行的判定定理可得α∥β.

2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当点A,B分别在平面α,β内运动时,动点C              (　　)

A.不共面

B.当且仅当点A,B分别在两条直线上移动时才共面

C.当且仅当点A,B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D.无论点A,B如何移动都共面

【解析】选D.无论点A,B如何移动,其中点C到α,β的距离始终相等,故点C在到α,β距离相等且与两平面都平行的平面上.

3.下列命题:①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,必与另外一个平面相交;

②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面,必平行于另一个平面;

③夹在两个平行平面间的平行线段相等.其中正确的命题的个数为 (　　)

A.1   B.2   C.3    D.0

【解析】选C.根据面面平行的性质知①②③正确.

4.(多选题)已知平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β,下列结论中正确的是              (　　)

A.m∥β    B.n∥α

 C.m∥n    D.m与n不相交

【解析】选ABD.由平面α∥平面β,直线m⊂α,直线n⊂β知:在A中,m∥β,故A正确;

在B中,n∥α,故B正确;m,n平行或异面,一定不相交.故C错误,D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如图,已知S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=,则MN__________平面SBC. 

【解析】过N作NG∥AD,交AB于G,连接MG,

可得=,由已知条件=,

得=,所以MG∥SB.

因为MG⊄平面SBC,SB⊂平面SBC,所以MG∥平面SBC.又AD∥BC,所以NG∥BC,NG⊄平面SBC,BC⊂平面SBC,所以NG∥平面SBC,NG∩MG=G,

所以平面SBC∥平面MNG,

因为MN⊂平面MNG,所以MN∥平面SBC.

答案:∥

6.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中点,过C,M,D1作正方体的截面,则截面的面积是________. 

【解析】如图,由面面平行的性质知截面与平面AA1B1B的交线MN是△AA1B的中位线,所以截面是梯形CD1MN,易求其面积为.

答案:

三、解答题(每小题10分,共30分)

7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D1,D分别为B1C1,BC的中点.

求证:平面A1D1B∥平面ADC1.

【证明】连接D1D.因为D1DB1BA1A,

所以四边形A1ADD1为平行四边形,所以A1D1∥AD.

因为A1D1⊄平面ADC1,AD⊂平面ADC1,

所以A1D1∥平面ADC1.

因为BD1∥DC1,BD1⊄平面ADC1,

DC1⊂平面ADC1,所以BD1∥平面ADC1,

又因为A1D1∩BD1=D1,所以平面A1D1B∥平面ADC1.

8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行?

【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,所以QB∥PA.连接DB,因为P,O分别为DD1,DB的中点,所以D1B∥PO,又因为D1B⊄平面PAO,QB⊄平面PAO,所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,又因为D1B∩QB=B,所以平面D1BQ∥平面PAO.

【补偿训练】

　　　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD= 90°,BC=2AD,AC与BD交于点O,点M,N分别在线段PC,AB上,==2.求证:平面MNO∥平面PAD.

【证明】在梯形ABCD中,因为AD∥BC,

所以==2,

又=2,所以ON∥BC∥AD.

因为AD⊂平面PAD,ON⊄平面PAD,

所以ON∥平面PAD.

在△PAC中,==2,

所以OM∥AP,因为AP⊂平面PAD,

OM⊄平面PAD,所以OM∥平面PAD,

因为OM⊂平面OMN,ON⊂平面OMN,且OM∩ON=O,

所以平面MNO∥平面PAD.

9.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.

(1)若E为A1C1的中点,求证:DE∥平面ABB1A1;

(2)若E为A1C1上一点,且A1B∥平面B1DE,求的值.

【解析】 (1)取B1C1的中点G,连接EG,GD,

则EG∥A1B1,DG∥BB1,

又EG∩DG=G,A1B1∩BB1=B1,

所以平面DEG∥平面ABB1A1,

又DE⊂平面DEG,所以DE∥平面ABB1A1.

(2)设B1D交BC1于点F,连接EF,

则平面A1BC1∩平面B1DE=EF.

因为A1B∥平面B1DE,A1B⊂平面A1BC1,

所以A1B∥EF.所以=.

又因为△BDF∽△C1B1F,

所以==,所以=.

【补偿训练】

如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,

OA∶OA′=3∶2.求△A′B′C′的面积.

【解析】相交直线AA′,BB′所在平面和两平行平面α,β分别相交于AB,

A′B′,由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.

同理相交直线BB′,CC′确定的平面和平行平面α,β分别相交于BC,B′C′,从而BC∥B′C′.

同理:AC∥A′C′.所以∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反,所以∠BAC=∠B′A′C′.

同理∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′.

所以△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等,

所以△ABC∽△A′B′C′,

因为AB∥A′B′,AA′∩BB′=O,

所以在平面ABA′B′中,△AOB∽△A′OB′.

所以==.

而=AB·AC=×2×1=1,

所以=,

所以==×1=.

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