人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直巩固练习

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课时素养检测

二十九　直线与直线垂直

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是              (　　)

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

【解析】选D.构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1,

取l1为AD,l2为AA1,l3为A1B1,当取l4为B1C1时,l1∥l4,当取l4为BB1时,l1⊥l4,故排除A,B,C,选D.

2.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线 (　　)

A.有无数条    B.有两条

 C.至多有两条   D.有一条

【解析】选A.如图所示,过点P作直线l′∥l,以l′为轴,与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.

3.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为(　　)

A.相交     B.平行

C.异面而且垂直   D.异面但不垂直

【解析】选D.将展开图还原为正方体,如图所示.

4.(多选题)如图,在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中成立的是              (　　)

A.EF⊥BB1     B.EF⊥BD

C.EF与CD异面   D.EF与A1C1异面

【解析】选ABC.连接A1B,因为E,F分别是AB1,BC1的中点,所以EF是△A1BC1的中位线,所以EF∥A1C1,故D错误,ABC正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如图,在正方体ABCD-EFMN中,

①BM与ED平行;

②CN与BM是异面直线;

③CN与BE是异面直线;

④DN与BM是异面直线;

以上四个说法中,正确说法的序号是__________. 

【解析】在①中,直线BM与ED为异面直线,故①不正确.

在②中,由异面直线的判定方法可得直线CN与BM是异面直线,故②正确.

在③中,由条件可得四边形BCNE为平行四边形,故CN与BE平行,故③不正确.

在④中,由异面直线的判定方法可得直线DN与BM是异面直线,故④正确.

综上②④正确.

答案:②④

6.(双空题)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件________时,四边形EFGH是正方形. 

【解析】易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.

答案:AC=BD　AC=BD且AC⊥BD

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.

【解析】如图所示,取BD的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别为BC,AD的中点,AB=CD,

所以EG∥CD,GF∥AB,且EG=CD,GF=AB.

所以∠GFE就是EF与AB所成的角,EG=GF.

因为AB⊥CD,所以EG⊥GF.所以∠EGF=90°.

所以△EFG为等腰直角三角形.所以∠GFE=45°,即EF与AB所成的角为45°.

8.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形且AB=BC=2, ∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1.

【解析】连接CD1,AC,由题意得四棱柱ABCD-A1B1C1D1中A1D1∥BC,A1D1=BC,

所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥CD1,

所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角,

因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,

所以∠AD1C=90°,因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AB=BC=2,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=AC.

因为底面ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,

所以AC=2×sin 60°×2=6,

所以AD1=AC=3,

所以AA1===.

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,点P在线段AD′上运动,则异面直线CP与BA′所成θ角的取值范围是              (　　)

A.0°<θ<90°　　　　　　 B.0°<θ≤90°

C.0°≤θ≤60°    D.0°<θ≤60°

【解析】选D.如图,连接CD′,则异面直线CP与BA′所成的角θ等于∠D′CP,由图可知,当P点与A点重合时,θ=60°,

当P点无限接近D′点时,θ趋近于0°,

由于是异面直线,故θ≠0°.

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是              (　　)

A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90°

【解析】选D.过点M作ME∥DN交CC1于点E,连接A1E,则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).设正方体的棱长为a,则A1M=a,ME=a,A1E=a,所以A1M2+ME2=A1E2,所以∠A1ME=90°,即异面直线A1M与DN所成的角为90°.

3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.则的值为              (　　)

A.3    B.    C.2    D.

【解析】选A.连接BC1,A1C1,因为AD1∥BC1,所以异面直线A1B与AD1所成角为

∠A1BC1.

令AA1=t,则A1B=BC1=,A1C1=.

cos∠A1BC1=

==,所以t2=9,t=3,

即AA1=3.所以=3.

4.(多选题)一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论,其中正确的是              (　　)

A.AB⊥EF

B.AB与CM所成的角为60°

C.EF与MN是异面直线

D.MN∥CD

【解析】选AC.把正方体平面展开图还原为原来的正方体,

如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有AC正确.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,则异面直线BM与C1N所成角的余弦值为________. 

【解析】如图,连接A1N,则A1N∥BM,

所以∠A1NC1为异面直线BM与C1N所成角,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB=AA1=2,M,N分别为AA1,BB1的中点,所以A1N=C1N=,在△A1NC1中,由余弦定理可得:cos∠A1NC1==.

即异面直线BM与C1N所成角的余弦值为.

答案:

6.若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则B1D与CC1所成角的正切值为________. 

【解析】如图,B1D与CC1所成的角为∠BB1D.

因为△DBB1为直角三角形,

所以tan∠BB1D==.

答案:

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60°角的对角线共有________条. 

【解析】如图,

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,六个面内与BD成60°角的对角线有AB1,BA1,DC1,CD1,AD1,DA1,BC1,CB1,共8条.

答案:8

8.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是________. 

【解析】如图,取AC的中点G,连接FG,EG,

则FG∥C1C,FG=C1C,EG∥BC,EG=BC,

故∠EFG即为EF与C1C所成的角(或补角),

在Rt△EFG中,cos∠EFG===.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E是PC的中点,求异面直线BE与PA所成的角的余弦值.

【解析】连接AC,BD相交于O,连接OE,

则O为AC的中点,因为E是PC的中点,所以OE是△PAC的中位线,则OEPA,则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角,设四棱锥的棱长为1,

则OE=PA=,OB=BD=,BE=,

则cos∠OEB===.

10.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点.

求证:CD1⊥EF.

【证明】取CD1的中点G,连接EG,DG.

因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=BC.

因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,

所以DF∥BC,DF=BC,所以EG∥DF,EG=DF,

所以四边形EFDG是平行四边形,所以EF∥DG,

所以∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,

所以DG⊥CD1,所以∠D1GD=90°,

所以异面直线CD1,EF所成的角为90°,即CD1⊥EF.

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