人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直当堂达标检测题

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课时素养检测

三十一　直线与平面垂直(二)

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.若直线l与平面α不垂直,m⊂α,那么l与m的位置关系是 (　　)

A.垂直     B.平行

C.异面或相交   D.以上都有可能

【解析】选D.由线面位置关系判断.

2.空间中直线l和三角形的两边AC,BC同时垂直,则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是              (　　)

A.平行    B.垂直

C.相交    D.不确定

【解析】选B.由题意可知,该直线垂直于三角形所确定的平面,故这条直线和三角形的第三边也垂直.

3.设a,b是互不垂直的两条异面直线,则下列命题成立的是 (　　)

A.存在唯一一条直线l,使得l⊥a,且l⊥b

B.存在唯一一条直线l,使得l∥a,且l⊥b

C.存在唯一一个平面α,使得a⊂α,且b∥α

D.存在唯一一个平面α,使得a⊂α,且b⊥α

【解析】选C.过直线a上任意一点P,作b的平行线c,由a,c相交确定一个平面α.直线l只需垂直于平面α,就会与a,b都垂直,这样的直线有无数条,故A错误.根据两条异面直线所成角的定义,排除B.根据线面垂直的概念,排除D.

4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于              (　　)

A.AC　 B.BD　 C.A1D　 D.A1D1

【解析】选B.因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是正方形,所以BD⊥A1C1,且BD⊥CC1,又因为A1C1∩CC1=C1,所以BD⊥平面A1C1C,又因为CE⊂平面A1C1C,所以BD⊥CE.

5.四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=AD,四边形ABCD是正方形,E是PD的中点,则AE与PC的关系是              (　　)

A.垂直

B.相交

C.平行

D.相交或平行

【解析】选A.因为PA=AD,E为PD的中点,所以AE⊥PD,又PA⊥平面ABCD.所以PA⊥CD,又因为CD⊥AD.PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE.

又因为CD∩PD=D,所以AE⊥平面PCD.

所以AE⊥PC.

6.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论,其中正确的结论是              (　　)

A.AC⊥SB

B.AB∥平面SCD

C.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

D.二面角B-SD-C的大小为45°

【解析】选ABD.由题意,AC⊥平面BDS,所以AC⊥SB,故选项A正确;因为AB∥CD,AB⊄平面SCD,CD⊂平面SCD,所以AB∥平面SCD,故选项B正确;AB与SC所成的角是∠SCD,DC与SA所成的角是∠SAB,两者不相等,故选项C错误;二面角B-SD-C的平面角是∠BDC,是45°,故选项D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF= ________. 

【解析】因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE,又因为AF=DE,所以四边形AFED是平行四边形,所以EF=AD=6.

答案:6

8.边长为a的正方形ABCD中,E为AB的中点,F为BC的中点,将△AED,△BEF和△DCF分别沿DE,EF和DF折起使A,B,C重合于一点A′,则三棱锥A′-EFD的体积为________. 

【解析】以等腰直角三角形A′EF为底,DA′为高,得VD-A′EF=S△A′EF·DA′=··a=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.三棱锥P-ABC的三个侧面两两互相垂直,求证:顶点P在底面的射影O是底面三角形ABC的垂心.

【证明】如图,由三个侧面两两互相垂直易知AP⊥平面PBC,从而AP⊥BC.

又因为PO⊥底面ABC,所以PO⊥BC,

因为PO与AP相交于P点,

所以BC⊥平面PAO,即BC⊥AO.

同理可知CO⊥AB,BO⊥AC.

所以O点是三角形ABC的垂心.

10.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:=.

【证明】因为PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,

所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.

又PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.

又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,

所以EF∥BD,所以=.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知PA⊥矩形ABCD所在平面,PA≠AD,M,N分别是AB,PC的中点,则MN垂直于              (　　)

A.AD    B.CD    C.PC    D.PD

【解析】选B.连接AC,取AC的中点为O,连接NO,MO,如图所示:

因为N,O分别为PC,AC的中点,所以NO∥PA,因为PA⊥平面ABCD,所以NO⊥平面ABCD,所以NO⊥CD.

又因为M,O分别为AB,AC的中点,所以MO∥BC.因为BC⊥CD,所以MO⊥CD,因为NO∩MO=O,所以CD⊥平面MNO,所以CD⊥MN.

2.已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面.下列说法正确的是 (　　)

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

【解析】选B.A中,两条直线也可以相交或异面,故A错误;B中,描述的是线面垂直的性质,故B正确;C中,还会出现n⊂α的情况,故C错误;D中,还会出现n∥α,n与α相交或n在α内的情况,故D错误.

3.如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的直线有 (　　)

A.1条   B.2条   C.3条    D.4条

【解析】选D.因为PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PO⊥AC,又因为AC⊥BO, PO∩BO=O,所以AC⊥平面PBD,因此,平面PBD中的4条直线PB,PD,PO,BD都与AC垂直.

4.(多选题)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段B1D1上的一个动点,则下列结论中正确的是              (　　)

A.AC⊥BE

B.B1E∥平面ABCD

C.三棱锥E-ABC的体积为定值

D.B1E⊥BC1

【解析】选ABC.对于A.因为在正方体中,AC⊥BD,AC⊥DD1,BD∩DD1=D,

所以AC⊥平面BB1D1D,因为BE⊂平面BB1D1D,所以AC⊥BE,所以A正确.

对于B.因为B1D1∥平面ABCD,

所以B1E∥平面ABCD成立,即B正确.

对于C.三棱锥E-ABC的底面△ABC的面积为定值,锥体的高BB1为定值,所以锥体体积为定值,即C正确.

对于D.因为D1C1⊥BC1,若B1E⊥BC1正确,则可得到BC1⊥平面A1C1,而实际上BC1与平面A1C1不垂直,故D错.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.a,b是异面直线,直线l⊥a,l⊥b,直线m⊥a,m⊥b,则l与m的位置关系是________. 

【解析】将b平移至c,且使a与c相交,则a,c确定一个平面,记作平面α.因为l⊥b,m⊥b,所以l⊥c,m⊥c,又l⊥a,m⊥a,所以l⊥平面α,m⊥平面α,所以l∥m.

答案:l∥m

6.已知平面α,β和直线m,给出以下条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α∥β.要使m⊥β,则所满足的条件是________.(填所选条件的序号)  

【解析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时,此直线也垂直于另一个平面,结合所给的条件,故由②④可推出m⊥β.即②④是m⊥β的充分条件,故当m⊥β时,应满足的条件是②④.

答案:②④

7.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是________. 

【解析】如图,由已知得PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,

所以PA⊥平面PBC.又PB⊥PC,PB=PC,BC=2,所以PB=PC=.

所以VP-ABC=VA-PBC=PA·S△PBC=××××=.

答案:

8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°, PA=AB=BC,E是PC的中点.则有

(1)CD________AE. 

(2)PD________平面ABE.(填“⊥”或“∥”) 

【解析】(1)在四棱锥P-ABCD中,因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.

又因为AC⊥CD,且PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.

(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.

因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.

又PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.

因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AB.

又因为AB⊥AD,且PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.

又AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.

答案:(1)⊥　(2)⊥

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=BC=CA=4,∠BCA=90°,E为PC的中点.

求证:BE⊥平面PAC.

【证明】因为PB⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AC⊥PB.因为∠BCA=90°,所以AC⊥CB,而CB⊂平面PBC,PB⊂平面PBC,PB∩CB=B,所以AC⊥平面PBC.又BE⊂平面PBC,所以AC⊥BE.

因为E为PC的中点,且PB=BC,所以BE⊥PC.

又PC⊂平面PAC,AC⊂平面PBC,PC∩AC=C,

所以BE⊥平面PAC.

10.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA⊥底面ABCD,E,F分别是SD,SC的中点.

求证:(1)BC⊥平面SAB;

(2)EF⊥SD.

【证明】(1)因为四棱锥S-ABCD的底面是矩形,所以AB⊥BC.因为SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SA⊥BC.又因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.

(2)因为SA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥SA.又因为CD⊥AD,SA∩AD=A,所以CD⊥平面SAD.因为E,F分别是SD,SC的中点,所以EF∥CD,所以EF⊥平面SAD.

又因为SD⊂平面SAD,所以EF⊥SD.

11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC =2,E,F分别是AD,PC的中点.

证明:PC⊥平面BEF.

【证明】如图,连接PE,EC,

在Rt△PAE和Rt△CDE中,

PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,

即△PEC是等腰三角形.

又F是PC的中点,所以EF⊥PC.

又BP==2=BC,

F是PC的中点,所以BF⊥PC.又BF∩EF=F,

所以PC⊥平面BEF.

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