专题01 方程有解类问题-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

这是一份专题01 方程有解类问题-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册），共5页。

求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离，两种方法的选择应视具体题目而定，不好说那种方法更优.
方程有解类应熟知的方法（分离函数）：
函数的零点就是函数与函数交点的横坐标，故常将方程有解、解的个数、根的分布问题，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点有交点、交点的个数、交点横坐标所在区间问题.
方程有解类应熟知的基本知识、方法：
（1）若f(x)的值域为A，则方程f(x)=a有解.
（2）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则有：
= 1 \* GB3 ①∀x1∈D， ∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则；
= 2 \* GB3 ② ∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)成立，则.
【典型例题】
例1 （多选题）（2020·江苏徐州名校联考）关于的一元二次方程有两个根，且满足，则实数的值是（ ）.
A．－2； B．－3； C．－4； D．－5.
【答案】BC
【分析】分离参数得，转化为与有两个交点，其横坐标为，且满足.
【解析】将方程分离参数得：
设，如图，则，所以
选BC.
例2 关于的方程有负根，则实数的取值范围是______________．
【答案】
【解析】如下图，方程有负根，即与两个函数图象交点的横坐标为负值，即交点在轴的左侧，此时必需且只需，解之得
故实数的取值范围是．
例3 讨论a取不同值时，关于x的方程的解的个数.
【答案】当时，方程无解；当时，方程有2个解；当时，方程有4个解.
【解析】令，作出函数的图象，
如图所示，所求问题可转化为函数与直线交点的个数问题.
当时，与无交点，所以原方程无解；
当时，与有两个交点，原方程有2个解；
当时，与有四个交点，原方程有4个解.
例4 已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m，且如果对于任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是______________．
【答案】 [－5，－2]
【分析】易得，，若对于，使得，只需的值域包含于的值域即可，即m－1≤－3且m＋8≥3，解得．
【解析】x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1为增函数，值域为(0，3]，
因为f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f(x)在[－2，2]上的值域为[－3，3]，
函数g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域为[m－1，m＋8]．
因为对任意的x1∈[－2，2]，都存在x2∈[－2，2]，使得g(x2)＝f(x1)，
所以f(x)在[－2，2]上的值域是g(x)＝x2－2x＋m在x∈[－2，2]上的值域的子集，
所以，解得
即实数m的取值范围是[－5，－2]．
点评：
考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.
【巩固训练】
1. 若关于的方程在区间内有两个解，则实数的取值范围是_________.
2.已知函数f(x)＝2x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，函数g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，若存在x1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))及x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数k的取值范围．
3.已知函数f(x)＝ eq \s\d1(\f(1,2))x2＋x，g(x)＝ln(x＋1)－a ，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2) ，求实数a的取值范围.
4.已知函数f(x)＝eq \f(x2－x＋1,x－1)(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2)．
(1)若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为__________；
(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为__________．
5.已知函数，，若存在实数，使得 成立，则实数的取值范围是 。
6. 已知二次函数, 为实数.
（1）若此函数有两个不同的零点，一个在内,另一个在内，则的取值范围是_____________
(2)若此函数的两个不同零点都在区间内，则的取值范围是____________．
7.已知f(x)＝2x－4x的定义域为[－1，1]，若方程f(x)－m＝0有解，则m的取值范围是____________．
8. 已知函数
(1)若,求函数的值域；
(2)若关于的方程有解,求实数的取值范围.
【答案或提示】
1.【答案】
2.【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3)))
【解析】由题意，易得函数f(x)的值域为[0,1]，g(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2－2k，2－\f(3k,2)))，并且两个值域有公共部分．
先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－eq \f(3,2)k<0，解得keq \f(4,3)，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(4,3))).
3.【答案】[－4,ln3]
【解析】f(x)值域A=[0，4]，g(x)值域B=[－a，ln3－a]，
由存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＝g(x2) 知：A∩B≠
正难则反，先求出A∩B＝时，a的取值范围
由A∩B＝得：4<－a或ln3－a<0，解之得：a＜－4或a＞ln3，
故A∩B≠时，－4≤a≤ln3，
所以a的取值范围是[－4,ln3].
4.【答案】(1)[3，＋∞) (2)(1，eq \r(3)]
【解析】(1)因为f(x)＝eq \f(x2－x＋1,x－1)＝x＋eq \f(1,x－1)＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立．所以若∃x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞)．
(2)因为当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2，若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2≤3，a＞1，))解得a∈(1，eq \r(3)]．
5.【答案】
6.【答案】，
7.【答案】 [－2， eq \f(1,4)]
8. 【答案】（1）； （2）.
【解析】（1）当时，，
由于，所以，所以当时，有最小值为；当时，有最大值为.故的值域为.
（2）原函数可化为所以.依题意关于的方程有解，即①，
在时有实数根.
当时，①化为，所以不是①的根.
当时，，①可化为，
②.
其中，
当且仅当，即时，等号成立.
所以②式可化为.所以的取值范围是.