专题07 利用函数奇偶性、单调性解函数不等式-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

专题07 利用函数奇偶性、单调性解函数不等式

【方法点拨】

1.给出函数的奇偶性、单调性或设计具有奇偶性、单调性的函数，求解函数不等式，一般是将变量转移至“同一单调区间”逆用单调性实现脱“f”的目的，有时还要先穿“f”再脱“f”.

2. f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)

【典型例题】

例1  已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，若实数满足，则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】由“奇同偶异”知在上单调递减，再由是偶函数知，故，逆用单调性脱“”即可.

【解析】因为在上单调递增，所以在上单调递减

由是偶函数知，故

因为，

所以，所以，，解之得

所以实数的取值范围是.

点评：

      逆用单调性定义可实现脱“”的目的，从而解决函数型不等式，但要注意将变量转移至同一单调区间.

例2  设函数，则使得的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】发现是偶函数，“半解一知”再研究当时的单调性，由单调性性质易知，在上单调递增.为脱“”，利用偶函数数式特征，可转化为，从而有.

【解析】易知，

因为，所以是偶函数

当时，，、单增

故在上单调递增

因为是偶函数数，故

所以，平方得，即，解之得

所以的取值范围是，选D.

点评：

1. 同例1比，本题设计具有奇偶性、单调性的函数，通过研究函数的单调性、奇偶性实现解函数不等式的目的.
2. 掌握结论f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)，会给解题带来方便，作用是将变量转化为“正” 从而避免讨论．

例3     函数，若，则实数的取值范围（  ）

A．[-1,3]    B.[-2,2]    C.      D.(0,2)

【答案】D

【分析】解法同例2，但与例2最大的不同在于需将条件中穿“”得，从而.

【解析】是上的偶函数，且当时，单减，单减，故单减

又，所以

又是上的偶函数，所以

所以，解之得

所以实数的取值范围(0,2)，选D.

【巩固练习】

1.已知函数，则            .

2. 已知函数，，则________．

3. 已知定义在上的奇函数满足：对任意的有恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

4.已知函数，则使得的的范围是_____．[

5.已知函数，若，则实数的取值范围是__________.

6. 已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）用定义证明函数在上的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案与提示】

1.【答案】2

【分析】所求自变量互为相反数，暗示不要直接代入，应研究函数的奇偶性.

【解析】函数的定义域为R，对任意

.

2.【答案】

【解析】因为

所以,故答案为：

3.【答案】D

【解析】对任意的有恒成立，可得是上的增函数，

又是上的奇函数，所以，

所以，解得，

所以不等式的解集为.故选：D

4.【答案】（0,2）

5.【答案】

【解析】在上单调递增，在上单调递增，且，在R上单调递增，

因此由得，故答案为：

6.【答案】（1）；（3）.

【解析】（1）因为是上的奇函数，

所以，即，解得.

从而有.又由知，解得.

经检验，当时，，满足题意

（2）由（1）知，

由上式易知在上为减函数，又因为是奇函数，从而不等式等价于.

因为是上的减函数，由上式推得.

即对一切有，从而，解得.