专题08 函数奇偶性、单调性简单的综合运用-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

专题08  函数奇偶性、单调性简单的综合运用

【方法点拨】

具有对称性且在一侧单调的函数型不等式解法策略依然是脱“f”，注意变量的转化方法.

【典型例题】

例1    函数在上单调递增，且恒成立，则关于的不等式的解集为________

【答案】

【分析】由恒成立知其图象关于对称，再由函数在上单调递增，得函数在单调递减. 为脱去中的“f”，需比较变量与2的大小.

【解析】恒成立，函数关于对称，

函数在上单调递增，且

，即

所以或，解得，

故不等式的解集为.

例2    已知函数，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】

【解析】函数，

画出函数的图象知，关于对称，且在，上是单调减函数.

，且恒成立，

，即，

当时，不等式化为：，即，解得，即；

当时，不等式化为：，即，解得或，即或，

综上，时，实数的取值范围是，，．

故选：．

例3    已知函数，若不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，则；

同理，当时，则；

是偶函数，不等式等价于

在单调递增，在上有解

即，分离参数得在上有解

所以

又在上单调递减，在上单调递增

【巩固练习】

1. （多选题）如果对定义在上的奇函数，对任意两个不相等的实数、，都有，则称函数为“函数”，下列函数为函数的是（    ）

A． B．

C． D．

2.已知定义在上的函数在上是单调递减，且是偶函数，则（         ）

A．； B．；

C．；                    D．.

3.函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

4. 设函数是定义在上的奇函数，，若对任意两个不相等的正数都有，则不等式的解集为______.

5.已知函数，则关于的不等式的解集为（    ）.

A． B．

C． D．

6.已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案与提示】

1.【答案】CD

【提示】

2.【答案】C

3.【答案】D.

【解析】由于关于对称,则关于轴对称,由于,故,故选D.

4.【答案】

【解析】构造函数,则因为是定义在上的奇函数,故为定义域是 的偶函数,又对任意两个不相等的正数都有,即,故在上为减函数.又,故.

综上, 为偶函数,且在上单调递增,在上单调递减.

且.故即.

根据函数性质解得，故答案为：

5. 【答案】C

【解析】构造函数，

由于，所以，所以的定义域为.

，

所以为奇函数， .

当时，都为增函数，

所以当时，递增，所以在上为增函数.

由，得，

即，所以，解得.

所以不等式的解集为.故选：C

6.【答案】A

【解析】当时，，满足；

当或时，，则.

由上可知，函数为偶函数.

当时，；当时，，则函数在上为增函数，且.

由可得，所以，，解得或.

因此，不等式的解集为.故选：A.