专题09 函数的对称性与周期-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

专题09  函数的对称性与周期

【方法点拨】

1.对于函数f(x)，若非零实数a满足对于任意x∈D，都有f(a＋x) ＝f(x)，则称a为函数的一个周期.其意义是自变量每增加或减少a（或其整数倍），函数值不变.其作用是转移变量的范围进行函数的求值.

2.函数奇偶性、对称性间关系：

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线对称．

(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．

说明：函数的奇偶性是特殊的对称性，遇函数的对称性问题应往奇偶性方向转化.

3. 函数对称性、周期性间关系：

若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．

记忆口诀：多重对称性生周期性，同2倍之异4倍之．

【典型例题】

例1              定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，求证：

（1）；（2）．

证明：（1）因为的图象关于直线对称，所以

所以

又因为是奇函数，所以

所以.

（2）由（1）得.

点评：

（1）              迭代法，对于抽象函数，可反复使用法则或定义实施代入.

（2）              本题是对函数的周期性与对称性之间关系的证明.

例2   定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（    ）．

A．；            B．；             C．；           D．．   

【答案】B．

【分析】由题目中给出的双对称性得周期性，将所求转移至已知区间即可.

【解析】因为是奇函数且满足，所以

因为，所以

因为当时，

所以

另一方面

所以.

例3   设函数的图像关于直线对称．若时，，则当时，的解析式是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B．

【分析】将求转移至已知区间，然后利用对称性化简.

【解析】当时，则

因为时，

所以

又因为函数的图像关于直线对称

所以

所以，故选：B.

【巩固练习】

1. 函数的定义域为，若与都是奇函数，则（  　）．

A．是偶函数          B．是奇函数

C．          D．是奇函数

2.已知为定义在上的函数，且为偶函数，且当时，，则当 时，__________．

3.已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（    ）

A． B．

C． D．

4. 函数在上单调递增，且恒成立，则关于的不等式的解集为________

5. 已知函数满足，且时，，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

6.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则   8

7.若定义在R上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：

①是周期为4的周期函数；    ②的图象关于点对称；

③是偶函数；                 ④的图象经过点；

其中正确论断的个数是______________.

【答案与提示】

1. 【答案】D

【解析】∵与都是奇函数，∴，，

∴函数关于点及点对称，函数是周期的周期函数．

∴，，

即是奇函数．故选D．

2.【答案】．

3. 【答案】.

【解析】因为是偶函数，所以关于直线对称；

因此，由得；

又在上单调递减，则在上单调递增；

所以，当即时，由得，

所以，解得；

当即时，由得，

所以，解得；

因此，的解集是.

4. 【答案】.

【解析】恒成立，函数关于对称，

函数在上单调递增，函数在单调递减，

关于的不等式，，

解得，即或，解得，

故不等式的解集为.

5. 【答案】C

【解析】因为，

所以

，选C.

6.【答案】－8

7.【答案】3

【解析】命题①：由，得：，

所以函数的周期为4，故①正确；

命题②：由是奇函数，知的图象关于原点对称，

所以函数的图象关于点对称，故②正确；

命题③：由是奇函数，得：，

又，

所以，

所以函数是偶函数，故③正确；

命题④：，

无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.