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专题11 一次分式函数-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）
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这是一份专题11 一次分式函数-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册），共4页。
1． 一次分函数的定义
我们把形如的函数称为一次分式函数.
2． 一次分式函数的图象和性质
（1）图象：.
（2）性质：
①定义域：；2.3 值域：；
②对称中心：；
③渐近线方程：和；
④单调性：当ad>bc时，函数在区间和分别单调递减；当ad【典型例题】
例1 设函数，区间M=[a，b](a【解析】函数f（x）=
其图象如下图所示，由图象可知，y=f（x）在Ｒ上是连续单调递减函数。而N=｛y|y=f（x），x∈M｝表示函数定义域为Ｍ＝［a，b］时其值域为Ｎ。由Ｍ＝Ｎ得解得a=b=0，这与a例2 已知函数，其中.
(1)当函数的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；
(2)若函数在(－1,+)上单调递减，求a的取值范围.
【答案】（1）a＝3； （2）.
【分析】(1)部分分式
所以的对称中心为(－1，a)，与P(－1，3)比较得a＝3.
(2)由知x＝－1为的一条渐近线，又由一次分函数的性质知，当且仅当，即a<1时，在(－1,+)上单调递减，故a的范围是.
点评：
一次分式型函数的最常用变形手段“部分分式”（其核心就是分子‘凑’分母），其常用方法有凑配、换元、长除法等.
例3 求函数的值域.
【答案】（－1,1）
【分析】令，则为与复合而成
而，故在递增，所以
又当时，
故的值域是（－1,1）.
【巩固练习】
1．函数y=的值域 ．
2．函数y=（）的值域 ．
3．函数y=的对称中心是 ．
4．函数y=的单调增区间是 ．
5．已知函数 =，若，恒成立，则的取值范围是 ．
5．若函数在区间上的值域为，则______________．
6．记函数的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点是函数的图象上的“稳定点”.若函数的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a的取值范围.
【答案与提示】
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】（4，-1）
4．【答案】
5．【答案】
5．【答案】
6．【答案】
【解析】由题意：方程，即有两个不等于-a的相异实根，
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1． 一次分函数的定义
我们把形如的函数称为一次分式函数.
2． 一次分式函数的图象和性质
（1）图象：.
（2）性质：
①定义域：；2.3 值域：；
②对称中心：；
③渐近线方程：和；
④单调性：当ad>bc时，函数在区间和分别单调递减；当ad
例1 设函数，区间M=[a，b](a
其图象如下图所示，由图象可知，y=f（x）在Ｒ上是连续单调递减函数。而N=｛y|y=f（x），x∈M｝表示函数定义域为Ｍ＝［a，b］时其值域为Ｎ。由Ｍ＝Ｎ得解得a=b=0，这与a
(1)当函数的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值；
(2)若函数在(－1,+)上单调递减，求a的取值范围.
【答案】（1）a＝3； （2）.
【分析】(1)部分分式
所以的对称中心为(－1，a)，与P(－1，3)比较得a＝3.
(2)由知x＝－1为的一条渐近线，又由一次分函数的性质知，当且仅当，即a<1时，在(－1,+)上单调递减，故a的范围是.
点评：
一次分式型函数的最常用变形手段“部分分式”（其核心就是分子‘凑’分母），其常用方法有凑配、换元、长除法等.
例3 求函数的值域.
【答案】（－1,1）
【分析】令，则为与复合而成
而，故在递增，所以
又当时，
故的值域是（－1,1）.
【巩固练习】
1．函数y=的值域 ．
2．函数y=（）的值域 ．
3．函数y=的对称中心是 ．
4．函数y=的单调增区间是 ．
5．已知函数 =，若，恒成立，则的取值范围是 ．
5．若函数在区间上的值域为，则______________．
6．记函数的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点是函数的图象上的“稳定点”.若函数的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a的取值范围.
【答案与提示】
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】（4，-1）
4．【答案】
5．【答案】
5．【答案】
6．【答案】
【解析】由题意：方程，即有两个不等于-a的相异实根，
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