专题13 复合函数的零点问题-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

专题13  复合函数的零点问题

【方法点拨】

复合函数的零点问题一般用换元法,分别探讨内外函数的零点个数或范围即可.

【典型例题】

例1   已知函数，若方程有6个不等实根，则实数的可能取值是（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】AD

【分析】作出函数的图象，结合选项逐一判断即可.

【解析】作出函数的图象：

直接验算法：

当时，，所以，

所以方程有6个不等实根；

当时，，所以，

所以，所以方程有3个不等实根；

当时，，所以，

所以，且方程有3根，

所以方程有7个不等实根；

当时，，所以，

所以方程有6个不等实根；

故选：AD.

例2   设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（       ）.

A．且；                      B．且；

C．且；                      D．且.

【答案】C

【分析】观察所求解方程为关于的一元二次方程，设，问题进而转化为关于的一元二次方程解的问题.

【解析】设.

如下图，

由函数图象得：

（1）当时，方程有不同的实数解4个；

（2）当时，方程有不同的实数解3个；

（3）当时，方程没有实数解.

所以，关于的方程有7个不同实数解的充要条件是方程有两个根，其中一个根等于0，另一个根大于0.

此时应且.

【巩固练习】

1.已知函数则函数的零点个数是         ．

2. 已知函数其中．若函数有3个不同零点，则实数的取值范围是         ．

3.已知函数 其中，若函数有3个不同零点，则实数的取值范围是         ．

4.设定义在上的函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是         ．

5.若函数

（1）函数的零点个数是      ．

（2）若函数有3个不同零点，则实数m的取值范围是      ．

【答案与提示】

1.【答案】4

2.【答案】[1，e）

3.【答案】(1，e]

5.【答案】（1）4；（2）

4.【答案】