专题14 对数函数的综合运用-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

专题14    对数函数的综合运用

【方法点拨】

含对数函数的恒成立、不等式有解、数形结合比较大小等综合问题

【典型例题】

例1    已知正实数，，满足：，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】､､的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断，，大小关系.

【解析】因为，，，

所以､､为与，，的交点的横坐标，

如图所示：

由图象知： .

故选：B

例2    已知函数（其中且），

（1）求函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）奇函数；（2）.

【分析】令，则只需，下面需研究其单调性，由，故时，单增，由复合函数单调性知在单减，所以在单减

故，所以，解之得

所以实数的取值范围是.

例3       已知函数是偶函数.

（1）求实数的值；

（2）若的图象在直线下方，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】对于（2），由题意得恒成立，即，

设，易知是单减，且

∴，∴

∴实数的取值范围是.

例4      已知函数（）是奇函数，

（1）若函数，,求；

（2）在条件（1）下，若，其中，试比较的大小.

【答案】（1）易得，奇函数，，；（2），，下面考察函数的单调性.

对于在单增，故在单减；对于，设（），在单减，故在单减，

所以，在单减，

因为，，所以.

【巩固练习】

1. 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为          .

2.已知函数，有2个不同的零点、，则（    ）

A． B．

C． D．

3.已知实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

4. 已知函数的图像过点.

（1）求的值；

（2）证明：函数的图像关于点对称；

（3）求的值.

【答案与提示】

1. 【答案】4039

【解析】

设

则

所以的图象关于点对称

所以的图象关于点对称

故的值为4039.

2. 【答案】D

【分析】先将有两个零点转化为与的图象有两个交点，然后在同一坐标系中画出两函数的图象，得到零点在和内，即可得到和，然后两式相加，即可求得的范围．

【解析】有两个零点，，

即与的图象有两个交点．

分别画和的图象，

发现两函数的图象在和有两个交点．

不妨设，，

那么在上有，

即①

在上有②

①、②相加有，

∵，∴，即，

∴，

∴，∴，

故选：D．

3. 【答案】ABC

【分析】令，则，在同一直角坐标系中作出函数，，的图象，任意作一条直线分别与函数，交于、两点，数形结合即可判断出，即可得正确答案.

【解析】令，

由指数函数的性质知：，

所以，，，

在同一直角坐标系中作出函数，，的图象如图：

所以，故选项C正确；

此时故选项B正确；

此时故选项A正确；

任意作一条直线分别与函数，交于两点，无论取何值，总在的上方，所以当取相同的正值时，总有，，故D选项不可能成立，

故选：ABC

4. 【答案】（1）；（2）见答案；（3）

【解析】（1）由题意得：，解得：

（2）因为

所以函数的图像关于点对称.

（3）由（2）知，，

则，，，，

故 .