2022宜宾高三下学期第二次诊断性测试（3月）（二模）数学（理）含答案

宜宾市高2019级二诊考试数学（理工类）参考答案

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

二、填空题

13．        14．       15．         16．

三、解答题

12．解：设，，过作，由题意，当三棱锥的体积最大时，必定有面面，即就是三棱锥的最大高，

在中，，

又，，

又，

令，由，

在上单调递减，

当时，即时，

17．解（1）由题意：的取值为：1,2,3,4,5，

，，…………………………………2分………………………………………5分

，………………………………………………………………6分

， ……………………………………………………………………7分

2022年的营业里程数为（万公里）…………………………8分

（2）在12.7,13.1,14.0,14.9,15.3五个数中，有2个超过14万公里，有3个没有超过14万公里，设取得的两个数中，至少有一个超过14万公里为事件A，则由题意知：

，即所求概率为．……………………………12分

18．选择①

解：（1）由有

当时，，解得…………………………………1分

当时，，………………………………………………2分

所以，

即，两边各项同除以得

，…………………………………………………4分

    ……………………………………………………………………6分

（2）由（1）知，已知

……………………………………………………8分

…………………………………9分

…………………………………………………10分

另一方面，是关于的增函数，

综上有：．……………………………………………………………12分

选择②

解：（1）由有

…………………………………………………………1分

所以或，所以舍去

………………………………………………………………………3分

当时，，

当时，，

当时，符合上式，…………………………………………………………………………6分

（2）由（1）知

……………………………………………………8分

………………………………9分

………………………………………………10分

另一方面，是关于的增函数，

综上有：．……………………………………………………………12分

19.解：（1）连接，

由题意，，，是中点， ．已知，，面，则……………………2分

在中，，，，由余弦定理得：，

．，则面，于是． …………4分

，与相交，面，面，

．……………………………………………………………………… 6分

（2）连，，设，由（1）知，，两两垂直，故分别以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，

由题意，则，，，取面的法向量，设面的法向量，则

，令，则，，

即……………………………………………………………………8分

设面与面的二面角为，则：

，…………………11分

当时，，即长为时，所求锐二面角最小．………12分

20．解：（1）解：，，，  ……１分

，………………………………3 分

：………………………………………………………………………４分

（2）设:，:，（），（）

由联立得：， 得，同理6分

又……………………………………………………………………7分

点到的距离……………………………………………………8分

所以………9分

………………………………11分

当即时，四边形的面积为定值.……………………12分

21．解：（1）当时，，，………1分

的定义域为，，，

在单调递增，在单调递减，………………………………3分

．……………………………………………5分

（2）法一：

，在单调递增，…………6分

取，且则

取，且则

可见，，使得，即，

当时，，单调递减

当时，，单调递增

……………………………………8分

依据题意有：

即

令

在单增，………………………………………………………………10分

又发现，则有，有

，即

令

，即单调递增

……………………………………………………………………………12分

（2）法二：由题意，恒成立，

即对任意恒成立，

对任意恒成立，

对任意恒成立，

对任意恒成立，

对任意恒成立，

对任意恒成立，……………………7分

令，显然在上单调递增，

原题对任意恒成立，

即对任意恒成立，………………………………………8分

又由（1）知：，

，……………………………………………………………10分

又由的解析式知

的取值范围为：．…………………………………………………………12分

22解：（1）设，，由已知得

，，………………………………………………………3分

则 ,　曲线的极坐标方程为 ……………5分

（2）法一：的直角坐标方程为

的直角坐标方程为

由得点的直角坐标为……………………………６分

由已知可设的直角坐标为,则

到的距离……………７分

…………………………………………8分

当时面积有最大值为 …………………９分

这时点的直角坐标为………………………………………………10分

（2）法二：由已知得,  ７分

……8分

时，面积的最大值为.………………9分

这时点的直角坐标为………………………………………………10分

23. 解：（1）法一：，

.………………2分

………………………………………4分

（当且仅当时取等）

的最大值为　　 .………………5分

（1）法二：柯西不等式

（当且仅当时取等）……………………5分

（2）法一：　……………………………7分

又,同理：,…………8分

, , …………10分

（2）法二：柯西不等式

（2）

，（当且仅当时取等）………7分

同理可得：（当且仅当时取等）…………………………8分

（当且仅当时取等）………………………………………9分

（当且仅当时取等）………………………………………………………分