数学选择性必修 第一册3.2 双曲线同步训练题

双曲线的简单几何性质同步练习

一、选择题

1. 双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是    

A.  B.  C.  D.

2. 若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为     

A. 2 B.  C.  D.

3. 已知抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若为直角三角形，其中F为直角顶点，则

A.  B.  C.  D. 6

4. 双曲线的顶点到渐近线的距离等于（ ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知双曲线的一个焦点为，椭圆的焦距为4，则

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

6. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）

A. 3 B. 2 C.  D.

7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点坐标为，则双曲线C的方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

9. 与双曲的一条斜率为正的渐近线平行，且距离为1的直线方程为（ ）

A.  B.
C.  D.

10. 设过双曲线左焦点的直线交双曲线的左支于点P，Q，为双曲线的右焦点．若，则的周长为（ ）

A. 19 B. 26 C. 43 D. 50

11. 已知椭圆E：与双曲线C：有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

12. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为是C上一点，且若的面积为4，则

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

13. 设O为坐标原点，直线与双曲线C：的两条渐近线分别交于D，E两点．若的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 32

14. 设，是双曲线C：的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为（ ）

A.  B. 3 C.  D. 2

二、填空题

15. 
    如图，是双曲线C： 的左、右焦点，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为          ．
    
     

16. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．
17. 已知，为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则          ．
18. 已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则          ．

三、解答题

19. 已知双曲线E：的两条渐近线分别为：，：．
    Ⅰ求双曲线E的离心率；
    Ⅱ如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线，于A，B两点B分别在第一、四象限，且的面积恒为试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
     
20. 已知双曲线．

求双曲线的焦点坐标及顶点坐标

求过双曲线的右焦点且与双曲线的渐近线平行的直线方程．




 

21. 已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且经过点
    Ⅰ求双曲线C的方程；
    Ⅱ求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
    
    
    
    
    
    
     
22. 设双曲线C：与直线l：相交于两个不同的点A，B．
    求双曲线C的离心率e的取值范围；
    设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
【解答】
解：由题意可得，，，，，，

且，菱形的边长为，
由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D，
由面积相等，可得，
即为，
即有，
由，可得，
解得，
因为，所以，
可得．
故选C．
2.【答案】A
【解答】
解：双曲线C：的一条渐近线不妨设为：，
圆的圆心，半径为2，
由双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，
可得圆心到的距离为，及即，
又，
可得，即．
故选A．
3.【答案】A
【解答】
由题可得，抛物线的焦点为，准线，
所以其准线与双曲线相交于，
由双曲线的对称性知为等腰直角三角形，，
，，即，
故选A．
4.【答案】A
【解答】解：因为双曲线的顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为．
故选A．
5.【答案】C
【解答】
记双曲线的焦距为2c，椭圆的焦距为，
由双曲线的焦点为，知双曲线焦点在y轴，
且，
可得，
从而椭圆方程为，
又焦距为4，知，
当时，有，得，
当时，，舍去，
于是，
故选：C．
6.【答案】D
【解答】
解：不妨设，分别为左、右焦点，P为第一象限的点，如图：
设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义知，，
，．
设，在中，，
由余弦定理得，，
化简得，即，
，
，
当且仅当时，等号成立，
则的最大值为，
故选D．

7.【答案】B
【解答】解：设，由题意知，点P在上，所以．
又点P在以为直径的圆上，所以有，
又，，所以，即，
所以又，，
所以，，所以双曲线C的方程为，
故选B．
8.【答案】B
【解答】解：双曲线的离心率为，可得，
即，由，可得，
渐近线方程为，即．
故选B．
9.【答案】A
 

【解析】解：双曲线的一条渐近线方程为：，设所求直线方程：，
与双曲的一条斜率为正的渐近线平行，且距离为1，可得：，可得．
所求直线方程为：．
故选：A．
求出渐近线方程，设出直线方程，然后推出结果即可．
本题考查双曲线的渐近线方程的应用，直线方程的求法．考查计算能力．
10.【答案】B
 

【解析】解：，，

，
，
的周长，
11.【答案】D

【解析】解：椭圆E的焦点为故．
双曲线C：，
双曲线C的渐近线方程为．
12.【答案】A
【解析】
解：不妨设P在双曲线的左支上，
由题意，设，，可得，，，
所以，
又，所以，
代入得可得，
解得．
故选：A．
13.【答案】B
【解答】
解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，
分别将，代入可得，
即，，
则，
，当且仅当时取等号，
的焦距的最小值为，
故选：B．
14.【答案】B

【解析】解：由题意可得，，，
，
，
，
为直角三角形，
，
，
，
，
，
的面积为，
15.【答案】
【解答】
解：根据双曲线的定义，可得，
是等边三角形，即，
，
又，
，
中，，，，
，
即，解得，
所以双曲线C的离心率．
故答案为．
16.【答案】
【解答】
解：因为
所以
又
所以，
所以该双曲线的渐近线方程为．
故答案为．
17.【答案】
【解答】
解：由双曲线的定义有，

，
双曲线的标准方程为，所以，

在中，由余弦定理得：

 ．
故答案为．
18.【答案】
【解答】解：易求双曲线中，，．
在中，利用正弦定理和双曲线的定义知
．
故答案为．
19.【答案】解：Ⅰ因为双曲线E的渐近线分别为，，
所以，所以，
故．
从而双曲线E的离心率．
Ⅱ由Ⅰ知，双曲线E的方程为
设直线l与x轴相交于点C，如图所示．
当轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则，因为的面积为8，
所以，
即，解得．
此时双曲线E的方程为．
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件．
设直线l的方程为，依题意，得或，则．
记，．
由，消去x，得同理得．
由，得，
即．
由消去y，得．
因为，所以．
又，所以，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一公共点的双曲线E，
且E的方程为．

 

20.【答案】解：由题意，可得双曲线的标准方程为，

所以该双曲线的左、右焦点坐标分别为，．

左、右顶点坐标分别为，．

易知该双曲线的渐近线方程为，

则过双曲线的右焦点且与双曲线的渐近线平行的直线方程为．

21.【答案】解：Ⅰ双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
设双曲线的方程为，
代入得，
故双曲线的方程为：．
Ⅱ由方程得，，，故离心率．
其渐近线方程为；
焦点坐标，解得到渐近线的距离为：．
，即．
22.【答案】解：由C与l相交于两个不同的点，
故知方程组有两个不同的实数解，消去y并整理得，
即有，解得且，
双曲线的离心率，由于，且，
且；
设，，，由于，
，
即有，由于，都是方程的根，且，
，，
，，
消去得：，
又，
解得．