专题1.1 集合的概念与运算-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
【命题趋势】
1. 利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数．
2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围．
3．考查数集的交集、并集、补集的基本运算．
4．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题．
5．以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.1.元素与集合
【核心素养】
本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．集合的有关概念
(1) 集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．
(2) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3) 元素与集合的两种关系：属于，记为eq \a\vs4\al(∈)；不属于，记为eq \a\vs4\al(∉).
(4) 五个特定的集合及其关系图：
N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
2．集合间的基本关系
(1) 子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2) 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作AB或BA.
AB⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A⊆B，,A≠B.))既要说明A中任何一个元素都属于B，也要说明B中存在一个元素不属于A.
(3) 集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.
两集合相等：A＝B⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A⊆B，,A⊇B.))A中任意一个元素都符合B中元素的特性，B中任意一个元素也符合A中元素的特性．
(4) 空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.
∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．
3．集合间的基本运算
(1) 交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2) 并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3) 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁UA.
【素养清单•常用结论】
(1) 子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.
(2) 交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3) 并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.
(4) 补集的性质：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A.
(5) 含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．
(6) 等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
【真题体验】
1.（2019·全国Ⅰ卷理1）已知集合，则=( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
.
2.（2019·全国Ⅰ卷文2）已知集合，则( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】
3.（2019·全国Ⅱ卷理1）设集合A=，B=，则A∩B=( )
A．(-∞，1)B．(-2，1)
C．(-3，-1)D．(3，+∞)
【答案】 A
【解析】
4.（2019·全国卷Ⅱ文1）已知集合，，则A∩B=( )
A．(–1，+∞)B．(–∞，2)
C．(–1，2)D．
【答案】C
【解析】
5.（2019·全国卷Ⅲ文、理1）已知集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】
6. （2019·天津卷文、理1） 设集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】
7.（2019·浙江卷1）已知全集，集合，，则=( )
A．B．C．D．
【答案】 A
【解析】
【考法拓展•题型解码】
考法一 集合的含义与表示
归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
【例1】 (1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
【答案】 C
【解析】因为A＝{0,1,2}，所以B＝{x－y|x∈A，y∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B中有5个元素．
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．eq \f(9,2) B．eq \f(9,8)
C．0 D．0或eq \f(9,8)
【答案】D
【解析】当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq \f(9,8).故a的值为0或eq \f(9,8).
考法二 集合的基本关系
归纳总结：
(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【例2】 (1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )
A．A＝B B．A∩B＝∅
C．A⊆B D．B⊆A
【答案】D
【解析】由x＋3>0得x>－3，所以A＝{x|x>－3}，所以B⊆A
(2)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，0]
【答案】A
【解析】A＝{x|0≤x≤2}，由A⊆B知a≥2即可
考法三 集合的基本运算
归纳总结：
集合基本运算的求解规律
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn图求解．
(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．
(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．
【例3】 (1)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋4,x－1)≤0))))，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝( )
A．(0,4] B．(0,1)
C．(0,1] D．[－4,1]
【答案】B
【解析】因为A＝{x|－4≤x<1}，B＝{y|y>0}，所以A∩B＝(0,1)．故选B．
(2)(2019·黄冈调研)已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x2))的定义域为M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为N，则M∪(∁RN)＝( )
A．{x|x>－1} B．{x|x≥1}
C．∅ D．{x|－1＜x＜1}
【答案】A
【解析】由1－x>0得N＝{x|x<1}，∁RN＝{x|x≥1}，而由1－x2>0得M＝{x|－1－1}．
(3)已知集合A＝{1,3，eq \r(m)}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或eq \r(3) B．0或3
C．1或eq \r(3) D．1或3
【答案】B
【解析】因为A∪B＝A，所以B⊆A，所以m∈A，所以m＝3或m＝eq \r(m)，解得m＝0或3.故选B
考法四 集合中的新定义问题
解题技巧：集合中的新定义问题
(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．
(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．
【例4】 (1)(2019·武汉调研)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝( )
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
【答案】D
【解析】A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|2(2)若对任意的x∈A，有eq \f(1,x)∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0，\f(1,2)，1，2))的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为__________．
【答案】7
【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和eq \f(1,2)共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，{－1,1}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)，2))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)，2))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，2))，共7个．
【易错警示】
易错点 在集合的关系中忽略空集
【典例】 已知集合A＝{x|1【错解】：{a|a≥2或a≤－2}
【错因分析】：空集是任何集合的子集，在本题中忽略了当a＝0时，A＝∅也满足A⊆B的情况，从而造成漏解．
【正解】：【答案】{a|a≥2或a≤－2或a＝0}
【解析】B＝{x||x|<1}＝{x|－1①当a>0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))因为A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)≥－1，,\f(2,a)≤1，,a>0，))解得a≥2.
②当a<0时，A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)))因为A⊆B，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)≥－1，,\f(1,a)≤1，,a<0，))解得a≤－2.
③当a＝0时，A＝∅⊆B．
综上所述，a的取值范围是{a|a≥2或a≤－2或a＝0}．
【误区防范】：由集合的关系求参数范围要注意的问题
(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．
(2)空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B是空集的情形：①B⊆A；②BA(A非空)；③B∩A＝B；④B∪A＝A．
【跟踪训练】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A．求实数m的取值范围．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】 因为B⊆A，当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2；当B≠∅时，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1＜m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))解得－1≤m＜2.综上得m≥－1.所以实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
【递进题组】
1．设集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜2))))，B＝{x|x2＜1}，则A∪B＝( )
A．{x|1＜x＜2} B．{x|－1＜x＜2}
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＜x＜1)))) D．{x|－1＜x＜1}
【答案】B
【解析】由x2<1得B＝{x|－12．(2019·巴蜀中学月考)已知集合A＝{x|x∈Z，且eq \f(3,2－x)∈Z}，则集合A中的元素个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】C
【解析】由eq \f(3,2－x)∈Z知2－x的值可为±1，±3，又x∈Z，所以由2－x＝±1得x＝1或3，由2－x＝±3得x＝－1或5.故选C．
3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【解析】 A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，因为A⊆C ⊆B，所以满足条件的集合C有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．故选D．
4．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是__________．
【答案】1或2
【解析】A＝{－1，－2}，由x2＋(m＋1)x＋m＝0得x＝－1或x＝－m.因为(∁UA)∩B＝∅，所以B⊆A，所以－m＝－1或－m＝－2，所以m＝1或2.
5．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0【答案】{0}∪[2，＋∞)
【解析】 A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|06．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝__________.
【答案】2
【解析】由{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，可知a≠0，则只能a＋b＝0，则有①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝0，,\f(b,a)＝a，,b＝1))或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝0，,b＝a，,\f(b,a)＝1，))由①得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝1，))②无解，则b－a＝2.
【考卷送检】
一、选择题
1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )
A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}
C．{2,3,4} D．{1,3,4}
【答案】A
【解析】 依题意得A∪B＝{1,2,3,4}．故选A．
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，则( )
A．A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) B．A∩B＝∅
C．A∪B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(3,2))))) D．A∪B＝R
【答案】A
【解析】由A＝{x|x<2}，B＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))得A∩B＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x<\f(3,2)))，A∪B＝{x|x<2}．故选A．
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x2－x－2＞0))，则∁RA＝( )
A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
【答案】B
【解析】由x2－x－2＞0得A＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B．
4．(2018·天津卷)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝( )
A．{x|0＜x≤1} B．{x|0＜x＜1}
C．{x|1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2}
【答案】B
【解析】由B＝{x|x≥1}得∁RB＝{x|x＜1}，又A＝{x|0＜x＜2}，故A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．
5．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－5x－6＜0}，B＝{x|2x＜1}，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{x|2＜x＜3} B．{x|－1＜x≤0}
C．{x|0≤x＜6} D．{x|x＜－1}
【答案】C
【解析】 A＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|x＜0}，阴影表示数字集合A∩(∁UB)，而∁UB＝{x|x≥0}，所以A∩(∁UB)＝{x|0≤x＜6}．故选C．
6．(2019·烟台调研)已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(kπ,4)＋\f(π,4)，k∈Z))，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x＝\f(kπ,8)－\f(π,4)，k∈Z))，则( )
A．M∩N＝∅ B．M⊆N
C．N⊆M D．M∪N＝M
【答案】B
【解析】由题意可知，M＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f((2k＋4),8)π－\f(π,4)，k∈Z))＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2nπ,8)－\f(π,4)，n∈Z))，N＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2kπ,8)－\f(π,4)或x＝\f((2k－1),8)π－\f(π,4)，k∈Z))，所以M⊆N，故选B．
二、填空题
7．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)【答案】eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】因为N＝[0,1]，所以M∩N＝eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
8．若{3,4，m2－3m－1}∩{2m，－3}＝{－3}，则m＝________.
【答案】1
【解析】由集合中元素的互异性可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－3m－1＝－3，,2m≠－3，,2m≠3，,2m≠4，))所以m＝1.
9．已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为________．
【答案】21
【解析】由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，x∈N，所以A＝{0,1,2,3}，而A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}＝{1,2,3,4,5,6}，所以数字之和为21.
三、解答题
10．已知全集为R，集合A＝{x|x≥2或x＜0}，B＝{x|1＜x≤3}，求A∩B，A∪B，∁RA．
【答案】见解析
【解析】根据交集的定义可得A∩B＝{x|2≤x≤3}，根据并集的定义可求得A∪B＝{x|x<0或x>1}，因为全集为R，所以根据补集的定义可求得∁RA＝{x|0≤x<2}．
11．已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，集合Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求集合(∁RP)∩Q；
(2)若P⊆Q，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，所以∁RP＝{x|x<4或x>7}，所以(∁RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x<4}．
(2)①当P＝∅时，满足P⊆Q，有2a＋1②当P≠∅时，满足P⊆Q，则应有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋1≥a＋1，,2a＋1≤5，,a＋1≥－2，))所以0≤a≤2.
综上，实数a的取值范围为(－∞，2]．
12．(2019·衡水中学测试)已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．
(1)求实数a，b，c的值；
(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.
【答案】见解析
【解析】(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋c×3＋15＝0，解得c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．而A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9.所以a＝b，b＝9，c＝－8.
(2)由(1)得6x2＋9x－8≤7，所以2x2＋3x－5≤0，P＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)≤x≤1))，所以P∩Z＝{－2，－1,0,1}．
13．已知k为合数，且1＜k＜100，当k的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k的“衍生质数”．
(1)若k的“衍生质数”为2，则k＝________；
(2)设集合A＝{P(k)|P(k)为k的“衍生质数”}，B＝{k|P(k)为k的“衍生质数”}，则集合A∪B中元素的个数是________．
【答案】(1)20 (2)30
【解析】(1)依题意设k＝10a＋b(a∈N*，b∈N)，则a＋b＝2，又a∈N*，b∈N，则a＝2，b＝0或a＝1，b＝1，故k＝20或k＝11(舍去)；
(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，“衍生质数”为5的合数有14,32,50，“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A有7个元素，集合B有23个元素，故集合A∪B中有30个元素．