专题2.4 二次函数与幂函数-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间．
2．了解幂函数的概念．
3．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq \f(1,x)，y＝x eq \s\up4(\f(1,2)) 的图象，了解它们的变化情况.
【命题趋势】
1. 二次函数的图象和性质，经常与其他知识综合考查．
2．幂函数的图象和性质，很少单独出题．
3．二次函数的综合应用，经常与导数、不等式综合考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；
两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
2．二次函数的图象与性质
二次函数系数的特征
(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；
(2)－eq \f(b,2a)的值决定图象对称轴的位置；
(3)c的取值决定图象与y轴的交点；
(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．
3．幂函数的概念
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．
幂函数的特征
(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；
(2)xα的系数为1；
(3)只有一项．
4．五种常见幂函数的图象与性质
【素养清单•常用结论】
1．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ0.
3．若a＝2－ eq \s\up4(\f(3,2)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【答案】C
【解析】 a＝2－ eq \s\up4(\f(3,2)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且eq \f(2,5)＜eq \f(1,2)＜eq \f(\r(2),2)，得
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))3＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3，即b＜c＜a.
4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．与a，b的值有关
【答案】A
【解析】 因为函数f(x)＝ax2＋bx＋5满足条件f(－1)＝f(3)，所以f(x)＝ax2＋bx＋5的图象关于x＝eq \f(－1＋3,2)＝1对称，则f(2)＝f(0)＝5.故选A．
5．对任意的x∈[－2,1]，不等式x2＋2x－a≤0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，3]
C．[0，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】D
【解析】 设f(x)＝x2＋2x－a(x∈[－2,1])，其对称轴为x＝－1，所以当x＝1时，f(x)取得最大值3－a，所以3－a≤0，解得a≥3.故选D．
6．(2019·杭州测试)若函数f(x)＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则实数a的取值集合为( )
A．[－3,3] B．[－1,3]
C．{－3,3} D．{－1，－3,3}
【答案】C
【解析】 因为函数f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2的图象的对称轴为直线x＝1，f(x)在区间[a，a＋2]上的最小值为4，所以当a≥1时，f(x)min＝f(a)＝(a－1)2＝4，a＝－1(舍去)或a＝3；当a＋2≤1，即a≤－1时，f(x)min＝f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，a＝1(舍去)或a＝－3；当a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1时，f(x)min＝f(1)＝0≠4.故a的取值集合为{－3,3}．故选C．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x eq \s\up4(\f(1,2)) ，且f(2x－1)