专题2.5 指数与指数函数-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题2.5 指数与指数函数-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题25指数与指数函数解析版doc、专题25指数与指数函数原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共23页， 欢迎下载使用。

【考纲要求】
1. 了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
【命题趋势】
1. 指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查．
2．指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查．
3．指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等
【核心素养】
本讲内容主要考查逻辑推理和数学运算的核心素养
【素养清单•基础知识】
eq \a\vs4\al(1.指数与指数运算)
(1)根式的性质
①(eq \r(n,a))n＝a(a使eq \r(n,a)有意义)．
②当n是奇数时，eq \r(n,an)＝eq \a\vs4\al(a)；
当n是偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a<0.))
(2)分数指数幂的意义
分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．
①a＝eq \r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②a＝eq \f(1,a)＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(3)有理数指数幂的运算性质
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②eq \f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；
③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．
(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．
2．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．
形如y＝kax，y＝ax＋k(k∈R且k≠0，a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．
3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
【素养清单•常用结论】
指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y＝ax与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0【真题体验】
1.【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
2. 【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
3. 【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：.设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
4. 【2017年高考北京理数】已知函数，则（ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
5．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,5) B．(1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
6．(2019·佛山一中期中)已知函数f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0
C．2－a＜2c D．2a＋2c＜2
【考法拓展•题型解码】
考法一 指数幂的运算
归纳总结：指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
【例1】 计算：(1)eq \r(3,a eq \s\up4(\f(9,2)) \r(a－3))÷eq \r(\r(3,a－7)\r(3,a13))；
(2)(0.027)－ eq \s\up4(\f(1,3)) －eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))－2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9))) eq \s\up4(\f(1,2)) －(eq \r(2)－1)0；
(3)eq \f(5,6)a eq \s\up4(\f(1,3)) b－2·(－3a－ eq \s\up4(\f(1,2)) b－1)÷(4a eq \s\up4(\f(2,3)) b－3) eq \s\up4(\f(1,2)) (a，b>0)．
考法二 指数函数的图象及应用
归纳总结：指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))和一条渐近线y＝0.
(2)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象，特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
【例2】 (1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是( )
(2)已知函数a，b满足等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b，下列五个关系式：
①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.
其中不可能成立的关系式有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考法三 指数函数的性质及应用
解题技巧:有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题：常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2)简单的指数不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题：首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
【例3】 (1)(2019·滕州模拟)下列各式比较大小正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1＞0.62
C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＜0.93.1
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x＜0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)＜1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
【例4】 (2019·广州期中)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a＞0，且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求k的值；
(2)若f(1)＜0，试判断y＝f(x)的单调性(不需证明)，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)＜0恒成立的t的取值范围．
【易错警示】
易错点 解题时不注意ax>0(a>0，且a≠1)这一隐含条件
【典例】 要使关于x的不等式9x＋(4＋a)3x＋4>0恒成立，求实数a的取值范围．
【错解】：令3x＝t，不等式变形为t2＋(4＋a)t＋4>0.令f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4，由二次函数的相关性质知f(t)的图象开口向上，要使f(t)＞0恒成立，只需要图象与x轴无交点，亦即Δ＝(4＋a)2－16<0即可，化简得a2＋8a＜0，解得－8＜a＜0.所以实数a的取值范围是(－8,0)．
【错因分析】：令t＝ax时，忽略了t>0这一条件，造成答案有遗漏．
【正解】：令3x＝t，则t>0，
且t2＋(4＋a)t＋4>0在t∈(0，＋∞)时恒成立．
令f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4(t>0)，则分两种情况：
①Δ<0，即(4＋a)2－4×4<0，所以a2＋8a<0，解得－8②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(4＋a,2)≤0，,f0≥0，))解得a≥－4.
综上，实数a的取值范围为(－8，＋∞)．
【跟踪训练】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，则a的值为__________．
【递进题组】
1．化简eq \f(a－ eq \s\up4(\f(2,3)) b eq \s\up4(\f(1,2)) a－ eq \s\up4(\f(1,2)) b eq \s\up4(\f(1,3)) ,\r(6,ab5))＝( )
A．eq \f(1,a) B．a
C．eq \f(1,b) D．b
2．已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up4(\f(2,5)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up4(\f(3,5)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up4(\f(2,5)) ，则( )
A．aC．c3．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
4．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是__________．
5．(2019·荆门中学月考)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是__________．
【考卷送检】
一、选择题
1．化简eq \f(2c,3a)eq \r(4,\f(81a5b2,16c4))(a＞0，c＜0)的结果为( )
A．±eq \r(4,ab2) B．－eq \r(4,ab2)
C．－eq \r(ab2) D．eq \r(ab2)
2．设a＝22.5，b＝2.50，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2.5，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c
3．已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为( )
A．[9,81] B．[3,9]
C．[1,9] D．[1，＋∞)
5．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x，则f(x)( )
A．是偶函数，且在R上是增函数
B．是奇函数，且在R上是增函数
C．是偶函数，且在R上是减函数
D．是奇函数，且在R上是减函数
6．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－4,3)
C．(－1,2) D．(－3,4)
二、填空题
7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是________．
8．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq \f(1,8b)的最小值为________．
9．已知函数f(x)＝(a－2)ax(a>0，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，则a的取值范围是________．
三、解答题
10．化简：(1)eq \f(\r(a3b2\r(3,ab2)),a eq \s\up4(\f(1,4)) b eq \s\up4(\f(1,2)) 4a－ eq \s\up4(\f(1,3)) b eq \s\up4(\f(1,3)) )(a>0，b>0)；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(27,8)))－ eq \s\up4(\f(2,3)) ＋(0.002)－ eq \s\up4(\f(1,2)) －10×(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0.
11．(2019·巴蜀中学月考)已知f(x)＝eq \f(1,1＋4 eq \s\up4(\f(1,2)) －x).
(1)求f(x)＋f(1－x)的值；
(2)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 001)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1 001)))＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,1 001)))＋…＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1 000,1 001)))的值．
12．已知定义域为R的函数f(x)＝eq \f(－2x＋b,2x＋1＋a)是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
13．(2019·海口中学期中)定义一种运算：a⊗b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥b，,b，a＜b，))已知函数f(x)＝2x⊗(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是( )

底数
a>1
0图象
性
质
定义域为R，值域为(0，＋∞)
图象过定点(0,1)
当x>0时，恒有y>1；
当x<0时，恒有0当x>0时，恒有0当x<0时，恒有y>1
在定义域R上为增函数
在定义域R上为减函数
注意
指数函数y=ax(a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0