专题2.7 函数的图像-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 理解点的坐标与函数图象的关系．
2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数的图象得到另一个函数的图象．
3．会运用函数图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.
【命题趋势】
1.利用函数的定义域、值域判断图象的左右、上下的位置；利用函数的奇偶性、单调性、周期性判断图象的对称性以及变化趋势．
2．利用函数的图象研究函数的性质；利用函数的图象研究不可解方程根的个数、函数零点的个数；利用函数的图象求不等式的解集，以及解决已知函数零点个数求参数问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换
①y＝f(x)的图象eq \(――――――――→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\d5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)的图象；
②y＝f(x)的图象eq \(――――――――→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\d5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b的图象．
“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数,无关，上加下减指的是在fx整体上加减.
(2)对称变换
①y＝f(x)的图象eq \(―――――→,\s\up7(关于x轴对称),\s\d5( ))y＝－f(x)的图象；
②y＝f(x)的图象eq \(―――――→,\s\up7(关于y轴对称),\s\d5( ))y＝f(－x)的图象；
③y＝f(x)的图象eq \(――――――→,\s\up7(关于原点对称),\s\d5( ))y＝－f(－x)的图象；
④y＝ax(a>0且a≠1)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称),\s\d5( ))y＝lgax(a>0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)纵坐标不变),\s\d5(0②y＝f(x)的图象eq \(――――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\d5(0(4)翻折变换
①y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(x轴下方部分翻折到上方),\s\d5(x轴及上方部分不变))y＝|f(x)|的图象；
②y＝f(x)的图象eq \(――→,\s\up7(y轴右侧部分翻折到左侧),\s\d5(原y轴左侧部分去掉，右侧不变))y＝f(|x|)的图象．
【素养清单•常用结论】
1．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
2．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq \f(b－a,2)对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；
(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
【真题体验】
1. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，可知应为D选项中的图象．
故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．
2. 【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．
又排除选项D；
，排除选项A，
故选B．
【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．
3. 【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（ ）
【答案】D
【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；
当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.
综上，选D.
【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
4. 【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为（ ）

【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A；
，∴舍去D；
时，，单调递增，舍去C.
因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.
5. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数的图像大致为（ ）

【答案】D
【解析】函数图象过定点，排除A，B；
令，则，
由得，得或，此时函数单调递增，
由得，得或，此时函数单调递减，排除C.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.
6.【2018年高考浙江】函数y=sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，
故选D．
【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．
【考法拓展•题型解码】
考法一 函数图象的作法
解题技巧：函数图象的作法
(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
【例1】 作出下列函数的图象．
(1)y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|； (2)y＝|lg2(x＋1)|；
(3)y＝eq \f(2x－1,x－1)； (4)y＝x2－2|x|－1.
【答案】见解析
【解析】(1)作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≥0)的图象，再将y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x(x≥0)的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图中实线部分．
(2)将函数y＝lg2x的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图中实线部分．
(3)因为y＝eq \f(2x－1,x－1)＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．
(4)因为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图．
考法二 函数图象的识别
归纳总结：识别函数图象的两种方法
(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．
(2)间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手：
①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；
②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；
③从函数的奇偶性判断图象的对称性；
④从函数的周期性判断图象的循环往复；
⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．
【例2】 (1)(2019·合肥三中测试)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝eq \f(a－b＋c,x)在同一坐标系中的大致图象是( )
【答案】C
【解析】由二次函数图象可知a>0，c>0，由对称轴x＝eq \f(－b,2a)>0，可知b<0，故a－b＋c>0.当x＝1时，a＋b＋c<0，即b＋c<0，所以正比例函数y＝(b＋c)x的图象经过二、四象限，反比例函数y＝eq \f(a－b＋c,x)的图象经过一、三象限．故选C．
(2)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为( )
【答案】D
【解析】当x＝0时，y＝2，所以排除A，B项；当x＝eq \f(\r(2),2)时，y＝－eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)＋2＝eq \f(9,4)>2，所以排除C项．故选D．
考法三 函数图象的应用
归纳总结
(1)利用函数图象研究函数性质，一定要注意其对应关系．
(2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．
(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．
【例3】 (1)设函数y＝eq \f(2x－1,x－2)，关于该函数图象的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x轴；
②任意两点的连线都不平行于y轴；
③关于直线y＝x对称；
④关于原点中心对称．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】y＝eq \f(2x－1,x－2)＝eq \f(2x－2＋3,x－2)＝2＋eq \f(3,x－2)，图象如图所示，可知②③正确．
(2)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是__________．
【答案】5
【解析】方程2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1，作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
(3)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，所以a≥－1.
【易错警示】
易错点 混淆函数图象的变换规律
【典例】 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
【错解】：y＝f(x)的图象向右平移一个单位得到y＝f(x－1)的图象，y＝f(－x)的图象向左平移一个单位得到y＝f(－x＋1)的图象，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于y轴对称．故选B．
【错因分析】：上述解答过程中混淆了左右平移变换中的针对对象，左右平移只针对x，且“左加右减”，故y＝f(－x＋1)的图象不是由y＝f(－x)的图象向左平移一个单位得到的，应写成f[－(x－1)]再观察，其实是由y＝f(－x)的图象向右平移一个单位得到的．
【正解】：f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，因此f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称．故选D．
【跟踪训练】 若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
【答案】C
【解析】 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C项正确．
【递进题组】
1．为了得到函数y＝lg2eq \r(x－1)的图象，可将函数y＝lg2x图象上所有点的( )
A．纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
【答案】A
【解析】把函数y＝lg2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，得到函数y＝eq \f(1,2)lg2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝eq \f(1,2)lg2(x－1)的图象，即函数y＝lg2eq \r(x－1)的图象．
2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,x2)的图象大致为( )
【答案】B
【解析】 因为y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，所以f(x)＝eq \f(ex－e－x,x2)是奇函数，图象关于原点对称，排除A项；因为f(1)＝eq \f(e－e－1,1)＝e－eq \f(1,e)，e>2，所以eq \f(1,e)1，排除C，D项．故选B．
3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【答案】C
【解析】 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)＞0在(－1,3)上的解集为( )
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】C
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．
5．对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b，a－b≥1，,a，a－b<1，))设f(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＋k，若函数f(x)的图象与x轴恰有三个交点，则k的取值范围是( )
A．(－2,1) B．[0,1]
C．[－2,0) D．[－2,1)
【答案】D
【解析】令g(x)＝(x2－1)⊙(4＋x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋x，x≤－2或x≥3，,x2－1，－2f(x)＝g(x)＋k的图象与x轴恰有三个交点，即y＝g(x)与y＝－k的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k≤2，即－2≤k<1.故选D．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·山西大学附中月考)要得到g(x)＝lg2 (2x)的图象，只需将函数f(x)＝lg2x的图象( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
【答案】C
【解析】 因为lg2(2x)＝1＋lg2x＝g(x)，所以要得到g(x)的图象只需将y＝f(x)＝lg2x的图象向上平移1个单位．
2．函数f(x)＝eq \f(e2x＋1,ex)的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【答案】D
【解析】 因为f(x)＝eq \f(e2x＋1,ex)＝ex＋e－x(x∈R)，所以f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，所以f(x)＝eq \f(e2x＋1,ex)为偶函数，所以f(x)＝eq \f(e2x＋1,ex)的图象关于y轴对称．故选D．
3．(2018·浙江卷)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是( )
【答案】D
【解析】 易知函数y＝2|x|sin 2x是奇函数，故可排除A，B项；又当x∈(0，π)时，sin 2x的值有正有负，2|x|恒为正，排除C项．故选D．
4．(2019·安徽滁州质检)已知函数y＝f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，且满足f(x)－f(－x)＝0，当x＞0时，f(x)＝ln x－x＋1，则函数y＝f(x)的大致图象为( )
【答案】D
【解析】 由f(x)－f(－x)＝0得函数f(x)为偶函数，排除A，B项；又当x>0时，f(x)＝ln x－x＋1，所以f(1)＝0，f(e)＝2－e<0.故选D．
5．已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )
A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
【答案】C
【解析】 图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C．
6．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq \f(fx－f－x,x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】 因为f(x)为奇函数，所以不等式eq \f(fx－f－x,x)<0可化为eq \f(fx,x)<0，f(x)的大致图象如图所示，所以不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．
二、填空题
7．若函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是________．
【答案】[－1,0)
【解析】 首先作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|1－x|的图象(如图所示)，欲使y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|1－x|＋m的图象与x轴有交点，则－1≤m<0.
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,2x，x≤0，))且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】(0,1]
【解析】 当x≤0时，0<2x≤1，所以由图象可知要使方程f(x)－a＝0有两个实根，即f(x)＝a有两个根，则09．定义在R上的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg|x|，x≠0，,1，x＝0，))关于x的方程f(x)＝c(c为常数)恰有三个不同的实数根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.
【答案】0
【解析】 函数f(x)的图象如图，方程f(x)＝c有三个根，即y＝f(x)与y＝c的图象有三个交点，易知c＝1，且一根为0，由lg|x|＝1知另两根为－10和10，所以x1＋x2＋x3＝0.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)由题意得
f(x)＝x|x－4|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xx－4＝x－22－4，x≥4，,－xx－4＝－x－22＋4，x<4，))
f(x)的图象如图所示．
(3)由图象知f(x)的单调递减区间是[2,4]．
(4)由f(x)的图象可知当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋eq \f(1,x)＋2的图象关于点A(0,1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于点(0,1)的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，即2－y＝－x－eq \f(1,x)＋2，所以y＝f(x)＝x＋eq \f(1,x)(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋eq \f(a,x)＝x＋eq \f(a＋1,x)，g′(x)＝1－eq \f(a＋1,x2).
因为g(x)在(0,2]上为减函数，所以1－eq \f(a＋1,x2)≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，故a的取值范围是[3，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
【答案】见解析
【解析】 (1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示：
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0(2)令2x＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，因为H(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t>0时，H(t)>H(0)＝0.因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
13．(2019·绵阳诊断)已知函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象分别如图所示，方程f(g(x))＝0和g(f(x))＝0的实根个数分别为a和b，则a＋b＝________.
【答案】10
【解析】 由图象知f(x)＝0有3个根，分别为0，±m(m＞0)，其中1＜m＜2，g(x)＝0有2个根，设为n，p，则－2＜n＜－1，0＜p＜1，由f(g(x))＝0得g(x)＝0或±m，由图象可知当g(x)所对应的值为0，±m时，其都有2个根，因而a＝6；由g(f(x))＝0知f(x)＝n或p，由图象可以看出当f(x)＝n时，有1个根，而当f(x)＝p时，有3个根，即b＝1＋3＝4.所以a＋b＝6＋4＝10.