压轴大题专练(01) 2022高考数学(文科)二轮复习 高中总复习·第2轮（全国版）

这是一份压轴大题专练(01) 2022高考数学(文科)二轮复习 高中总复习·第2轮（全国版），共4页。试卷主要包含了已知圆E等内容，欢迎下载使用。
压轴大题专练(01)1．已知圆E：(x＋2)2＋y2＝24，动圆N过点F(2，0)且与圆E相切，记动圆圆心N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)P，Q是曲线C上的两个动点，且OP⊥OQ，记PQ中点为M，|OP|·|OQ|＝t|OM|，证明：t为定值．(1)解：点F(2，0)在圆E：(x＋2)2＋y2＝24内，∴圆N内切于圆E，∴|NE|＋|NF|＝2＞|EF|，所以N点轨迹是以E，F为焦点的椭圆，且a＝，c＝2，从而b＝， 故点N的轨迹C的方程为＋＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，若直线PQ斜率存在，设直线PQ方程为y＝kx＋m，联立整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，Δ＝36k2m2－4(1＋3k2)(3m2－6)＝12(6k2＋2－m2)＞0，∴m2＜6k2＋2.x1＋x2＝，x1x2＝ ，因为OP⊥OQ，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.化简得(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，即(1＋k2)·＋km·＋m2＝0，从而，2m2－3k2－3＝0，①因为OP⊥OQ，且M为PQ中点，所以|PQ|＝2|OM|，在Rt△OPQ中，记原点O到直线PQ的距离为d，则|OP|·|OQ|＝d|PQ|＝2d|OM|，由①知，原点O到直线l的距离为d＝＝＝，所以t为定值.若直线PQ斜率不存在，设直线PQ方程为x＝n，联立解得P，Q(－＜n＜)，由OP⊥OQ得＝，即t＝，综上，t为定值.2．设函数f(x)＝xlnx＋ax2－(a＋1)x＋a＋1(a∈R)，g(x)＝f′(x)．(1)若a＝－1，求函数g(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有2个零点，求实数a的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝xlnx＋ax2－(a＋1)x＋a＋1，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1＋ax－a－1＝lnx＋ax－a.令g(x)＝lnx＋ax－a，若a＝－1，则g(x)＝lnx－x＋1，所以g′(x)＝－1＝.令g′(x)＞0，得0＜x＜1，即当0＜x＜1时，函数g(x)单调递增；令g′(x)＜0，得x＞1，即当x＞1时，函数g(x)单调递减．综上可知，函数g(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1＋∞)．(2)因为g(x)＝lnx＋ax－a，所以g′(x)＝＋a＝，g(1)＝0＋a－a＝0.又g(x)＝f′(x)，所以f′(1)＝0.①当a≥0时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．当x∈(0，1)时，g(x)<0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增．即当x＝1时，f(x)取得最小值，为f(1)＝0＋a－(a＋1)＋a＋1＝0.所以当a≥0时，函数f(x)只有一个零点，所以a≥0不满足题意．②当0＜－＜1，即a＜－1时，g′(x)＝.令g′(x)＞0，得0＜x＜－；令g′(x)＜0，得x＞－.所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减．又g(1)＝0，所以∃x1∈，使g(x1)＝0所以函数f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．作出函数f(x)的示意图，如图，要使函数f(x)有两个零点，则当x趋近于0时，f(x)>0，即a＋1＞0，解得a＞－2.所以a的取值范围为(－2，－1)．③当－＝1，即a＝－1时，g′(x)＝.令g′(x)＞0，得0＜x＜1；令g′(x)＜0，得x＞1.所以函数g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(1)＝0，所以当a＝－1时，函数f(x)只有一个零点，所以a＝－1不满足题意．④当－＞1，即－1＜a＜0时，g′(x)＝.令g′(x)＞0，得0＜x＜－；令g′(x)＜0，得x＞－.所以函数g(x)在上单调递增，在上单调递减．因为g(1)＝0，所以∃x2∈，使g(x2)＝0.所以函数f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．作出函数f(x)的示意图，如图，又f(1)＝0，所以由图象可知，∃x＞x2，使得f(x)＝0.所以当－1＜a＜0时，函数f(x)有2个零点．综上可知，当a∈(－2，－1)∪(－1，0)时，函数f(x)有两个零点．