2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的概念（含解析）

《导数的概念》

考查内容：主要涉及平均变化率，瞬时变化率，利用导数的定义求导数等

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．函数在[0，π]上的平均变化率为(    )

A．1 B．2 C．π D．

2．设函数，当自变量由改变到时，函数的改变量是（ ）

A． B．

C． D．

3．若函数在区间上的平均变化率为4，则m等于（    ）

A． B．3 C．5 D．16

4．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（     ）

A． B．

C． D．

5．已知物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足：，则该物体在时刻的瞬时速度为（    ）

A．1米/秒 B．2米/秒 C．3米/秒 D．4米/秒

6．一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（    ）

A．5米/秒 B．6米/秒 C．7米/秒 D．8米/秒

7．下列各式中正确的是（    ）

A． 

B．

C． 

D．

8．设函数可导，则等于（  ）

A．    B．    C．    D．

9．若函数满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．若f′(x0)＝－3，则等于(　　)

A．－3 B．－6

C．－9 D．－12

11．设函数,则(    )

A．-6 B．-3 C．3 D．6

12．已知函数，且，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．

二．填空题

13．函数在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为____

14．一质点的运动方程为（位移单位：；时间单位：），则该质点在时的瞬时速度为________ ．

15．若函数满足，则当趋向于0时，趋向于______．

16．已知函数，则 的值为_________.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数，当自变量x由1变到时，求：

（1）函数的增量.

（2）函数的平均变化率.

18．已知质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：）．

（1）当，时，求；

（2）当，时，求；

（3）求质点在时的瞬时速度．

19．在函数y＝f(x)＝x2＋3的图像上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)．

求：(1)；

(2)f′(1)．

20．（1）已知，请用导数的定义证明：；

（2）用公式法求下列函数的导数：①；②.

21．根据导数的定义求下列函数的导数：

(1)求y＝x2在x＝1处的导数；

(2)求y＝x2＋＋5在点处的导数.

22．已知函数，

（1）若，求的最大值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围。

《导数的概念》解析

1.【解析】平均变化率为.故选：C

2.【解析】自变量由改变到，

当时，，

当时，，

，故选：D

3.【解析】因为，

所以.故选：B.

4.【解析】从函数的图像可知，函数值的增长越来越快，故函数在该点的斜率也越来越大.因为，所以.故答案为：.

5.【解析】由题意，时，．故选：A．

6.【解析】由题意，物体的运动方程为，则，

所以物体在3秒末的瞬时速度是米/秒，故选A．

7.【解析】由导数的定义可得函数在处的导数可表示为，故选：C

8.【解析】，故选C.

9.【解析】

．故选：D．

10.【解析】f′(x0)＝＝－3，

＝

＝

＝

＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.答案：D

11.【解析】根据导数的定义：则f′（1），

由f′（x）＝2x+1，∴f′（1）＝3，∴，故选C．

12.【解析】由，即

因为，所以，

则，所以，故选：C

13.【解析】函数在区间[1，m]上的平均变化率为

.

14.【解析】质点的运动方程为，所以

该质点在秒的瞬时速度为，故答案为6.

15.【解析】当趋向于时，，

因为，则，

所以．

16.【解析】根据导数的定义知,

由，所以，则

17.【解析】（1）函数的增量；

（2）函数的平均变化率.

18.【解析】．

（1）当，时，．

（2）当，时，．

（3）由题意，得，故质点M在时的瞬时速度为．

19.【解析】(1)＝＝＝2＋Δx.

(2)f′(1)＝＝ (2＋Δx)＝2.

20.【解析】（1）；

（2）①，则；

②，则．

21.【解析】(1)∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx，

当Δx无限趋近于0时，＝2＋Δx无限趋近于2，所以f′(1)＝2.

(2)∵Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－＝4Δx＋(Δx)2－，

∴＝4＋Δx－，

∴当Δx→0时，→4－＝，故f′(2)＝.

22.【解析】（1），

.则，，

，，在上为增函数，

。

（2），即对恒成立，

.设，则，

，在上递减，

，。