2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--方程的根问题（含解析）

这是一份2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--方程的根问题（含解析），共16页。
《导数的综合应用—方程的根问题》考查内容：主要涉及到利用导数解决方程的根（或函数零点）问题注意：复杂的复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数，若函数有零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．2．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．4．若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．6．已知函数，关于x的方程有三个不等实根，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．已知函数，若关于的方程有个不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（　　）A． B． C． D．9．已知，若恰有两个根，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．已知函数与的图像上存在关于轴的对称点,则实数的取值范围为(   )A． B． C． D．11．方程有三个不同的解，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．已知函数为自然对数的底数）与的图像上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（     ）A． B． C． D．二．填空题13．关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是___14．已知关于x的方程有2个不相等的实数根，则k的取值范围是___15．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为_____.16．已知函数，若方程有八个不等的实数根，则实数的取值范围是_____．三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．设函数.（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围.   18．已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.    19．已知函数（1）当m=2时，求曲线在点（1，f(1)）处的切线方程；（2）当m=1时，求证：方程有且仅有一个实数根；（3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围.       20．已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围    21．已知函数.（1）当且时，求函数的单调区间；（2）若，关于的方程有三个不同的实根，求的取值范围.     22．已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.       《导数的综合应用—方程的根问题》解析1.【解析】函数有零点等价于方程有解，令，，当时，，函数单调递增；当时，,函数单调递减，又，所以.故选B2.【解析】由题意得，设，.当时，，为增函数；当时，，为减函数,且.所以有最大值，简图如下，由图可知，时符合题意.故选：C.3.【解析】函数的导数为：，解得或，函数递增；解得，函数递减；即取得极大值，取得极小值；作出的图像，作出直线，由图像可得当时，直线与的图像有3个不同的交点.故选：B4.【解析】，当时，无实数解，不符合题意，故.于是有，令，显然当时，；当时，.，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因此当时，，函数的图象一致如下图所示：因此要想有实数根，只需方程组：有交点，如上图，则有实数的取值范围是.故选：D5.【解析】对函数求导，，∴，当时，单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，要有三个不等实根，则，且，解得．6.【解析】，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数；所以的图像如图所示又时，，又的值域为， 所以当或时，方程有一个解，当时，方程有两个不同的解，所以方程即有两个不同的解，令，故  ，解得，故选：D7.【解析】令，即，得或，则直线和直线与函数的图象共有个交点.当时，，，令，得.当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.函数的极大值为，且当时，，如下图所示：由于关于的方程有个不同的实数解，由图象可知，直线与函数的图象只有一个交点，所以，直线与函数的图象有个交点，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.8.【解析】由题意，函数的定义域为，又由，得，则等价为方程，在上有两个不同的根，设，，由得得，得，此时，函数为增函数，得得，得或，此时，函数为减函数，即当时，函数取得极大值，极大值为，要使，有两个根，则即可，故实数的取值范围是，故选D．9.【解析】当时，；当时，，值域为，等价于，则与恰有两个不同的交点，在平面直角坐标下中作出图象如下图所示：由图象可知：，即，，，，令，，，，令，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，即.故选：.10.【解析】函数f（x）＝lnx﹣x3与g（x）＝x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，∴f（x）＝﹣g（x）有解，∴lnx﹣x3＝﹣x3+ax，∴lnx＝ax，即在（0，+∞）有解，令，则. 当单调递增； 单调递减.，且，所以.故选B.11.【解析】令，，当，当，递增区间是，递减区间是，取得极大值为，也为最大值，，，当或时，方程有一个解，当时，方程有两个解，当时，方程没有实数解，方程有三个不同的解，则要有两个实数解，设为，，必有一个根小于0，只需另一根在，设，解得.故选:B.12.【解析】设的图像上与的图像上关于对称的点为，故，消去得到，两边取对数有：，因为，故，令，，则，.令.因为为上的增函数，且当时，,故当时，，当时，；所以当时，，为减函数；当时，，为增函数；因为，，所以的值域为，故.故选:A.13.【解析】令，则由得或，由得所以在和上单调递增，在上单调递减所以的极大值为，极小值为由方程只有一个实数解可得函数只有一个零点所以或，解得或故答案为：14.【解析】由题意，关于x的方程有2个不相等的实数根，即函数与函数的图象有两个不同的交点，设，则，令，解得，所以函数的减区间为，增区间为，所以函数的最小值为，且当时，，当时，，要使得有2个不相等的实数根，所以．即实数的取值范围是.15.【解析】令可得，令，则，因为当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得最小值，又，所以，因为在上有两个解，所以.16.【解析】当时令，得，可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，可知函数在上单调递增，在上单调递减，所以；由此作出函数的草图，如下图：有图像可知当时，有四个不同的x与f（x）对应，令，又方程有八个不等的实数根，所以在内有两个不等的实数根，令，可得，得.故答案为17.【解析】（1）由题意，因为，，即恒成立，所以，可得，所以的最大值为；（2）因为当或时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以当时，取极大值；当时，取极小值；所以当或时，方程仅有一个实根.所以或即或，故的取值范围为.18.【解析】（1）当x＝2时，f（2）＝7，故切点坐标为（2，7），又∵f′（x）＝6x2﹣6x．∴f′（2）＝12，即切线的斜率k＝12，故曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣7＝12（x﹣2），即12x﹣y﹣17＝0，（2）令f′（x）＝6x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝1当x＜0，或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，故当x＝0时，函数f（x）取极大值3，当x＝1时，函数f（x）取极小值2，若关于x的方程f（x）+m＝0有三个不同的实根，则2＜﹣m＜3，即﹣3＜m＜﹣2故实数m的取值范围为（﹣3，﹣2）19.【解析】（1）m=2时， 切点坐标为（1，0），∴切线方程为； （2）m=1时，令,则，∴在（0，+∞）上是增函数又在上有且只有一个零点∴方程有且仅有一个实数根； （或说明也可以）（3）由题意知，恒成立，即恒成立，`则当时，恒成立， 令，当时， 则在时递减，∴在时的最小值为， 则m的取值范围是.20.【解析】（1）当时，，，，．切线方程为，化简得．曲线在点处的切线方程为．（2），定义域为，函数在上有两个零点，即方程在上有两个正根，即与的图象在上有两个交点，，令，，所以在上单调递减，且．所以当时，中，即，单调递增；当时，，即，单调递减．所以．又知，．结合与图象可知，若有两个交点只需．综上可知满足题意的范围为．21.【解析】（1）函数的定义域是，.①当时，在上恒成立，在上恒成立，的增区间为，的减区间为.②当时，，在和上恒成立，在上恒成立.∴时，的增区间为和，的减区间为.综上所述，当时的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）若，，关于的方程有三个不同的实根，等价于的图象与直线有三个交点.，，由解得或,由，解得.∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴，，又∵当趋近于时趋近于，当在定义域内趋近于0时，趋近于-，∴趋近于-，∴的图象与直线有三个交点时的取值范围是.22.【解析】（1）依题意，得，.令，即，解得；令，即，解得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题得， .依题意，方程有实数根，即函数存在零点，又，令，得.当时，，即函数在区间上单调递减，而， ，所以函数存在零点；当时，，随的变化情况如表：  极小值  所以为函数的极小值，也是最小值.当，即时，函数没有零点；当，即时，注意到，，所以函数存在零点. 综上所述，当时，方程有实数根.