2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--构造函数问题（含解析）

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《导数的综合应用—构造函数》考查内容：主要涉及利用构造函数解决导数问题说明：一般复杂的复合函数求导为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．定义在上的函数的导函数满足，则下列判断正确的是（    ）A． B．C． D．2．若函数的定义域是，，，则不等式的的解集为（    ）A． B．C． D．3．已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意，恒成立，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．4．函数的定义域为，对任意则的解集为（   ）A． B． C． D．5．已知定义在上的函数的导函数为，且对于任意的，都有，则（    ）A． B．C． D．6．已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（    ）A． B．C． D．8．已知函数在R上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）A． B． C． D．9．已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）A． B．C． D．10．已知是函数的导函数且对任意的实数都有，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．11．定义在上的连续函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为(    )A． B． C． D．12．设是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．二．填空题13．已知偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为______.14．已知定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，恒成立，且，则不等式的解集为______.15．若对于任意的，都有，则的最大值为__16．设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数．（1）若函数的最小值为2，求的值；（2）当时，证明：．     18．已知函数，.（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.      19．已知函数，其中.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，若恒成立，实数的取值范围.      20．已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）求证：当，时，不等式恒成立     21．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程.（2）若正实数满足，求证：.      22．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点、，求的取值范围.             《导数的综合应用—构造函数》解析1.【解析】由，得设，则，故在上单调递减，则，即，即,故选D.2.【解析】构造函数，则不等式可转化为，则，∵，∴，则函数在上单调递减，∵，∴，则的解集为，则不等式的解集为.故选：A.3.【解析】由题可知：，，所以，即，令，则，又对任意，恒成立，所以，可知函数在单调递增，又，所以，所以即的解集为，即不等式的解集为，故选：C4.【解析】令，则，因为对任意所以对任意恒成立；因此，函数在上单调递增；又所以，因此不等式可化为，所以.故选B5.【解析】构造函数，则在恒成立，在单调递减，所以所以，即故， ，，故正确的是A；6.【解析】令，，则，，所以，，因为，故，所以，因为，故.又，令，则，当时，为减函数，故，所以在上恒成立，故在上为减函数，所以，又当时，，所以的取值范围为，故选：B.7.【解析】构造函数，则函数的定义域为，对任意，，则，所以，函数为上的增函数，，，由可得，解得.因此，不等式的解集为.故选：D.8.【解析】令，因为时，，所以当时，，又，所以，所以为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又，，，所以.故选：B9.【解析】时，而也为偶函数，所以，选C.10.【解析】令，则，可设，，，所以，解不等式，即，所以，解得，所以不等式的解集为.故选：B1.【解析】，，令，则，函数为奇函数，当时，，函数在上单调递减，又函数为连续函数，函数在上单调递减，不等式可转化为，即，，解得.故选：A.12.【解析】设，则，，，，在定义域上单调递增，，，，．，（其中为自然对数的底数）的解集为．故选：．13.【解析】根据题意，设，其导数为，又由时，有，则有，则函数在上为减函数，又由为定义域为的偶函数，则，则函数为偶函数，，，又由为偶函数且在上为减函数，且定义域为，则有，解可得：或，即不等式的解集为， 14.【解析】令，则，在上单调递增，又，等价于，则：，解得：，15.【解析】由题意可得：，，，，据此可得函数 在定义域上单调递增，其导函数：在上恒成立，据此可得：，即实数的最大值为1．16.【解析】设函数，是偶函数，，所以函数是奇函数，且，当时，，即当时，单调递减，，所以当时，，，当时，，，是偶函数，所以当时，，当时，，所以使得成立的的取值范围是.17.【解析】（1）的定义城为，且，函数的最小值为2，若，则，于是在上单调递增，故无最小值，不合题意，若，则当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，于是当时，，取得最小值，由已知得，解得．综上可知．（2）∵由（1）得，当时，取得最小值，所以当时，取得最小值，即，则，即：，由题知，当时，证明：，∴要证，只要证，∴令，则，∴当时，，所以在上单调递增．∴当时，，即，∴当时，不等式成立．18.【解析】（1）由题知的定义域为.又，则.又因为，所以切点为.所以，解得.（2）当时，.当时，不等式恒成立即不等式，恒成立.设，，则.因为，所以.所以在上单调递减，从而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范围为.19.【解析】（1）由题意，，则，则120+0极小极大所以函数的极大值，极小值；（2）因为恒成立，所以即恒成立，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，所以.20.【解析】（1），， ，，将点代入切线方程得，可得，，解得；（2）证明：由（1）得，当，时，要证不等式，即证，当时，先证，构造函数，，则，构造函数，，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，则，，函数在上单调递增，即当时，，则当，时，，当，时，不等式恒成立.21.【解析】（1），切点为.，.切线为：，即.（2）.令， ，，，，，为减函数，，，为增函数，，所以.即.得：，得到，即：.22.【解析】（1）函数的定义域为，，令.当，即时，，则对任意的恒成立，此时函数在上单调递增；当时，对任意的恒成立，此时函数在上单调递增；当时，有两个正根，分别为，，当或时，；当时，.此时函数在，上单调递增，在上单调递减.综上可得：当时，函数的单调递增区间是，无递减区间；当时，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）由（1）可知、是关于的二次方程的两根，由韦达定理可得，，，，，，，，，令，则，设，，当时，，当时，.所以，函数在单调递增，在单调递减，，因此，的取值范围是.