2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--双变量问题（含解析）

《导数的综合应用—双变量问题》

考查内容：主要涉及利用导数解决一些双变量问题

说明：一些复杂的复合函数求导一般为理科内容

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是(    )

A． B． C． D．

4．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同实数根，，则的最大值为（    ）

A．2 B． C． D．

5．已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．

6．已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数，，若对任意的，存在唯一的 [，2]，使得，则实数的取值范围是（　　）

A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]

8．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为（　　）

A． B． C． D．

12．若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（　　）

A． B．

C． D．

二．填空题

13．已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为_______．

14．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.

15．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.

16．已知函数f（x）=x2ax3（a＞0），x∈R.若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，则a的取值范围是_____.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数存在两个极值点，（其中），且的取值范围为，求的取值范围.

18．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.

19．已知函数.

（1）判断函数的单调性；

（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；

（3）如果，且，求证：.

20．已知实数，设函数.

（1）当，时，证明：；

（2）若有两个极值点，证明：.

21．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数有两个零点，证明.

22．已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若存在两个极值点，，证明：.

《导数的综合应用—双变量问题》解析

1.【解析】的定义域，

，令，则必有两根，

，所以，

，

，

，

，

当时，，递减，所以

的最小值为，故选：A.

2.【解析】因为，

所以，

当时，，所以在上是增函数，

所以函数取得最小值.

因为，

当时，取得最小值，

因为对于，，使成立，

所以，不成立；

当时，取得最小值，

因为对于，，使成立，

所以，解得，此时；

当时，取得最小值，

因为对于，，使成立，

所以，解得，此时；

综上：实数的取值范围是.故选：A

3.【解析】由题意可知，

，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

当时，取得最小值，，

，，

①当时，函数单调递增，，

即 ，解得：，不成立；

②当时，，

即，解得：或，不成立；

③当时，函数单调递减，

即 ，解得：，成立.

综上可知：.故选：B

4.【解析】根据题意，绘制的图像如下：

由图可知，故方程有两个实根，

等价于有两个实根，，

不妨令，则，

要使得原方程有两个实数根，只需有两个实数根，

解得，故，

，令，解得，

故当，时，函数单调递增；当时，函数单调递减，

故.故选：B.

5.【解析】， ，，，

当时，解得：，当时，解得：，

所以在的单调递增区间是，单调递减区间是，

当时取得最小值，

，函数在单调递增，

，，所以，，

令，解得：或，

由条件可知的值域是值域的子集，

所以的最大值是，的最小值是，故的最大值是.故选：A

6.【解析】由函数在定义域单调递增，

对于任意，存在，使得成立，

即任意，存在，使得成立，

即满足，令，

对称轴方程为，在可得

令，求导可得，，可得，

在，，单调递增，

所以在，，即，

解得，故选C.

7.【解析】在[，2]的值域为，

但在（,2]递减,此时∈[﹣4，）．

的导数为，

可得在递减，递增，

则在的最小值为，最大值为，即值域为[0，e]．

对任意的，存在唯一的[，2]，使得

可得，可得，

解得．故选：B．

8.【解析】由题得函数的导数.

由题意可得（，且）.

即有，

化为，而，

∴，化为对都成立，

令，，

，对恒成立，即在递增，

∴，∴，∴，

即的取值范围是.故选：B.

9.【解析】由，得，

令，得，，

当时，，所以在区间，上单调递减，

在区间上单调递增，

而当时，，则在区间上为减函数，

又，，则，，

由题意，不等式对任意的恒成立，即转化为对任意的恒成立，

所以恒成立，解得，即，

结合选项知，的可能取值是.故选：D.

10.【解析】已知函数，

令，

所以在上递减，在上递增，

当时，，当时，，当时，，

所以，即的值域为.

因为，

所以，又因为，，

所以，所以在时递减，

所以的值域为.

因为对于任意，总存在，使得成立，

所以的值域包含的值域，即，

所以，解得.故选：A

11.【解析】由，∴，

令，（），则，（，），

显然在单调递减，∴（）

令，（），，

∵，∴，则，

∴令在单调递减，∴，

∴实数a的最大值为．选B.

12.【解析】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0两个不相等的实数根，

不妨设，,

两式相减得，令，

，

，

令，

令恒成立，

在是单调递增，恒成立，

在是单调递增，恒成立，

，.故选:B.

13.【解析】对任意的，存在，

使得，等价于，

令，解得，且当时，，

则在上单调递增，所以，

又在上单调递减，所以，

则，解得，故答案为．

14.【解析】函数的定义域为，，

依题意，方程有两个不等的正根、（其中），

则，由韦达定理得，，

所以，令，则，，

当时，，则函数在上单调递减，

则，

所以，函数在上单调递减，所以，.

因此，的取值范围是.

故答案为：.

15.【解析】令，，.

当时，，故在为增函数，

故在上的值域为.

又当时，，当时，，

所以在上为减函数，在上为增函数.

令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，

故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，

而，且在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即.故答案为：.

16.【解析】因为=﹣2ax2+2x，

令=0得，

①：当，即a≥1时，＜0，在x∈[1，+∞）恒成立，所以f（x）在[1，+∞）递减，∵，，

若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，

所以f（x1）的值域为（），f（x2）的值域为（），

由f（x1）f（x2）=1得：.

显然，当f（x1）→﹣∞时，→0（负数），故要满足结论，首先需满足：

，，解得.所以.

②当，即时，f（x1）在（2，+∞）上递减，

故此时f（x1），f（x2）在（1，）递增，在递减，

故0.此时只需即可，解得.

③当，即时，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正实数，而，故此时不满足题意.

综上，a的取值范围是[].故答案为：

17.【解析】（1）.

令，则.

①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.

②当，即时，

由，得或；

由，得，

∴在和上单调递增，

在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，

在上单调递减.

（2）由（1）得，当时，有两极值点，（其中）.

由（1）得，为的两根，所以，.

所以

.

令，则，

因为，

所以在上单调递减，而，，

所以，

又，易知在上单调递增，

所以，

所以实数的取值范围为.

18.【解析】（1）由题意得,

①当时,,所以在上单调递增；

②当时,由,得,

当时,,在上单调递减；

当时,,在上单调递增.

（2）由于有两个零点,不妨设,

由（1）可知,当时,在上单调递增,不符合题意；

当时,,,

即,解得,

此时有,所以存在,使得,

由于,所以在上单调递增,

所以当时,,所以在上单调递增,

所以当时,；

所以,

所以存在,使得,

综上,当时,有两个零点.

证明:由于,,且,则,

所以,,所以,

设,有,则,

要证,只需证,即证,

设,则,

所以在上单调递增,所以当时,,

即,故

19.【解析】（1）因为，所以，令可得；令可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）可得函数在处取得最大值，，

所以函数的值域为，且时，；

因为方程有两个不同的根，

所以，即，

，解得.即实数a的取值范围为.

（3）证明：由，，不妨设，

构造函数，，

则，

所以在上单调递增，，

也即对恒成立.

由，则，

所以，.

即，又因为，，且在上单调递减，所以，即证.即.

20.【解析】（1），即为

即 ，令，则 ，

令 ，令对称轴 ，

则，

时， 时， 时，

在上单调递增，在上递减，且 ，

在上递增，故只需证明，即证 ，

即 ，令 ，

则

在上单调递减，而 ，

当时，，当时，即成立，

当时，成立；

（2），

有两个极值点 ， ，

令，

当时，；当时，，

在上递减，上递增， ，

故即 ，由 可得

，则 ，

， ，

由得，下证即 ，

即证 ， ，等价于证明 ，

令 ，

，故 ， ，令 则

令 ，则，

在上递减， ，

即，

21.【解析】（1）

当时，，所以在上单调递减；

当时，，得

都有，在上单调递减；

都有，在上单调递增.

综上：当时，在上单调递减，无单调递增区间；

当时，在单调递减，在上单调递增.

（2）函数有两个零点分别为，不妨设，

则，，，

要证：，只需证：只需证：，

只需证：，只需证：，

只需证：，令，即证，

设，则，

即函数在单调递减，则，即得

22.【解析】（1）函数的定义域为，，

令，则.

①当时，，恒成立，函数的单调递增区间为.

②当时，，方程有两根，，，

当时，；当时，；当，.

的单调递增区间为、，

单调递减区间为.

（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，，

函数在上单调递减，则，，

不妨设，则.

由于

，

且，所以，

则.