2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数解决实际应用问题（含解析）

《利用导数解决实际应用问题》

考查内容：主要涉及利用导数解决实际应用问题

说明：共12道选择题，4道填空题，3道解答题。

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（    ）

A． B． C． D．

2．从长，宽的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ）

A． B． C． D．

3．现需建造一个容积为的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径与高的比值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（    ）

A．1 B． C． D．2

5．某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品(   )

A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台

6．侧棱长为的正四棱锥内,有一半球,其大圆面落在正四棱锥底面上,且与正四棱锥的四个侧面相切,当正四棱锥的体积最大时,该半球的半径为（    ）

A．1 B． C． D．2

7．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ）

A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤

8．已知母线长为的圆锥内接于球内，当圆锥体积最大时该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

9．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为海里/小时， 当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，其余费用(无论速度如何)都是每小时元.如果甲乙两地相距海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（    ）

A．海里/小时 B．海里/小时

C．海里/小时 D．海里/小时

10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为（）

A．14件 B．16件 C．24件 D．32件

11．已知长方体内接于半球，且底面落在半球的底面上，底面的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3，，则该长方体体积的最大值为（    ）

A． B． C．48 D．72

12．做一个圆柱形锅炉，容积为，两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为（    ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.

14．某生产厂家生产一种产品的固定成本为万元，并且每生产百台产品需增加投入万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台，），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..

15．周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为___.

16．已知正方形边长为3，点E，F分别在边，上运动（E不与A，B重合，F不与A，D重合），将以为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥体积的最大值为__________.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.

（1）求函数的解析式；

（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.

18．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）

（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；

（2）如何设计与的长度，使得最大？

19．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．

（1）把利润表示为年产量的函数．

（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？

（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？

《利用导数解决实际应用问题》解析

1.【解析】设圆锥的高为，则圆锥底面半径：，

圆锥体积：，

，令，解得：，

当时，；当时，，

当，取最大值，

即体积最大时，圆锥的高为：，本题正确选项：

2.【解析】设剪去的正方形的边长为,
则做成的无盖的箱子的底是长为,宽为的矩形,
箱子的高为,
所以箱子的容积,
,当时,只有一个解,
在附近,是左正右负,在处取得极大值即为最大值,
所以，若使箱子的容积最大,则剪去的正方形边长为.故选A.

3.【解析】设单位面积铁的价格为，则造价，

，取，得到，

当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，

故时，造价最小，此时.故选：D.

4.【解析】如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，是圆心（球心），

设正四棱锥底面边长为，则，，设，

则由得，，，，，

， 当时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值．

此时高，，．故选：A．

5.【解析】设利润为万元，则，，

令，得，令，得，

∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.

6.【解析】如图,E为中点,O为底面中心,交于点F,连接．

根据线面垂直的性质，可知平面,故半球的半径为.

设,则,,正四棱锥的体积

,记．

令,,则,,

,因此当时,；当时,

,即在上单调递增,在单调递减,故当时,体积最大． 此时该半球的半径为.

故选：B．

7.【解析】设销售的利润为，由题意，得，

即，当时，，解得，

故，

当时，，当时，，所以

函数在上单调递增，在上单调递减，

所以时，利润最大，故选B.

8.【解析】设圆锥底面半径为，高为，球半径为，由题意得，

则圆锥体积，令，

所以，所以当时，，当时，，

则当时取得最大值，此时，

又因为，所以，

所以该球的表面积为，故选：B.

9.【解析】因为海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，设船速为，燃料费用为元，比例系数为，则满足 ，

当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，代入上式可得

，解得

其余费用(无论速度如何)都是每小时元，如果甲乙两地相距海里，则所需时间为小时.则总费用为

所以，令，解得，

当时，，所以在内单调递减，

当时，，所以在内单调递增，

所以当时，海轮从甲地航行到乙地的总费用最低， 故选：C

10.【解析】因为该厂的日产量为x，

则其次品数为，正品数为，

根据题意得，

化简整理得．∵，

∴

=，当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0．

所以x=16时，T有最大值，即Tmax=T（16）=800元．故选B.

11.【解析】设长方体的高为h， 底面棱长为a， 则长方体的底面外接圆直径为， 所以 ，.

由勾股定理得 即得，其中 0<h<3 ，

所以 ， 长方体 的体积为 ，其中 0<h<3 ，设， 其中 0<h<3， 则，

令， 得，

当时 ，，在上单调递增； 当时 ，，在上单调递减.

所以 ， 函数 在  处取得极大值 ， 亦即最大值 ， 则 .因此 ， 该长方体的体积的最大值为.故选：A.

12.【解析】设锅炉的高为，底面直径为，锅炉的高与底面直径的比是.

，，.

设造价为，则.

则，

令，解得，可得此时取得最小值.

故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为.故选：A.

13.【解析】设圆锥的高为，底面半径为，

在截面图中，，，，

根据圆锥与球相切可知，、均为球与外切圆锥的切点，

则，又，，

，即，，

圆锥体积为，，

令可得，则时，；时，，

在单调递减，在单调递增，则.

故答案为：.

14.【解析】设销售利润为，依题意可得，

，

，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以时，取得极大值，也是最大值，

所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大.故答案为：6.

15.【解析】矩形的周长为，设矩形的长为,则宽为

设绕其宽旋转成一个圆柱,则圆柱的底面半径为,高为

则圆柱的体积，

则，

当,则，当，则 ，

即在上单调递增，在上单调递减，

故当圆柱体积取最大值，此时，故答案为:，

16.【解析】不妨设，，

在直角三角形中，易知边上的高为

又五棱锥的底面面积为

欲使五棱锥的体积最大，须有平面平面

∴

∵，∴

令，则，∴，

令，，则

不难知道，当时，取得最大值

∴

综上所述，当时，五棱锥的体积取得最大值

故答案为：.

17.【解析】（1）有题意可知，当时，，即，

解得，所以.

（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则

，

，

令，得或（舍去），

所以当时，为增函数；

当时，为减函数，

故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，

即时函数取得最大值.

所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.

18.【解析】（1）由得，

由得，

所以防蚊液体积，

（2）求导得，

令得；令得，

所以在上单调增，在上单调减，

所以当时，有最大值，此时，，

答：当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.

19.【解析】（1）设利润为y万元，

得

即

（2）显然当时，企业会获得最大利润，

此时，，

，即年产量为475台时，企业所得利润最大．

（3）要使企业不亏本，则．

即或

得或，即．

即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．