2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的单调性（三）---函数构造（含解析）

《利用导数研究函数的单调性》（三）---函数构造

考查内容：主要涉及构造函数并利用函数的单调性判断大小，解不等式等

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．定义在上的函数的导函数为，对任意的实数，都有，且，则（    ）

A．  B．

C．  D．

2．设是定义在R上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B． C． D．

3．奇函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知（是自然对数的底数），则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数的定义域为，且其图象关于坐标原点对称，当时，对（为的导函数），则使得成立的的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数满足，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

7．已知当时，函数恒成立，的导数为，且，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

8．定义在上的函数为奇函数，且当时，（其中是的导函数，若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

9．偶函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

10．设函数在上存在导数，对任意的有，且时，若，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

11．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，是偶函数，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（    ）

A． B．或

C． D．

二．填空题

13．设函数是奇函数的导函数， ，当时，，则不等式的解集为______________.

14．设定义在上的函数满足，，其中是的导函数；则不等式的解集为______.

15．设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________.

16．若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命题：①；②；③；④；其中正确的有__

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．函数.

（1）求证：函数在上单调递增；

（2）若，为两个不等的正数，求证.

18．函数的图象在处的切线方程是.

（1）求a，b的值；

（2）若，证明：.

19．已知函数存在一个极大值点和一个极小值点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）若函数的极大值点和极小值点分别为和，且，求实数a的取值范围.（e是自然对数的底数）

20．已知函数其中.

（1）若且函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，求的最大值.

21．已知函数（），且只有一个零点.

（1）求实数a的值；

（2）若，且，证明：.

22．已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若，设的最大值为，求的取值范围.

《利用导数研究函数的单调性（三）---函数构造》解析

1.【解析】构造，则，又，所以，所以函数在上单调递减，又，

所以，即，所以.故选：B

2.【解析】设，

则，

，，，

是R上的增函数，又，

，即的解集为.故选：D

3.【解析】令，则，

 因为，则，所以，为增函数.

 所以，即，得

又，得，得.

故选：A.

4.【解析】令，所以，

当时， ，当时，，

所以在上递增，在上递减.因为，

所以 ，即.故选：C

5.【解析】令.由题可知为奇函数，

∴也为奇函数．，

∵当时，，即.

当时，，∴在上单调递减．

∵在上为奇函数，∴在上单调递减，且，

当时，，即，

当时，，当时，．∵，

∴①当时，由，得，解得解集为；

②当时，则的解集为空集；

③当时，由，得，解得解集为．

综上所述，的取值范围为．故选：C

6.【解析】由题知：，

设，，所以在为减函数，

又因为，所以，，即，为增函数，

，，即，为减函数.

又因为函数满足，所以为偶函数.

.

因为，，即，

所以，即.故选：D

7.【解析】令，则，

所以函数为单调递增函数，由，

即，所以，

令，则，

所以函数为单调递减函数，由，

即，所以，所以.故选：C

8.【解析】，则，

当，单调递减

又因为为R上奇函数，所以为偶函数，

当，单调递增.

，

其中，，，

，，所以，故选：A

9.【解析】构造函数,则.

故当时,有,为减函数.

又为偶函数,故也为偶函数,所以在时为增函数.

又,,即,

即,故,结合定义域解得或.故选：C

10.【解析】设,时，,,所以既是增函数又是奇函数，,由已知,得,

故选B.

11.【解析】因为，

构造函数，则

故为单调递减函数；

又因为是偶函数，关于y轴对称，则关于直线x=1对称，

所以，，

则不等式，可转化为，因为为减函数，

所以，即解集为.故选：D.

12.【解析】设，则函数的的导数的导函数

，则函数单调递减，，

则不等式，等价为，即，则，

即的解集，故选D.

13.【解析】设 ，所以，

因为当时，，则，

所以在上是减函数，

又因为是奇函数，所以在上是增函数，

因为，所以，

所以当 或时，，

所以不等式的解集为.故答案为：

14.【解析】因为，所以，

设，所以在上是增函数，

因为不等式，整理得，

，又因为，

所以，所以，.故答案为：.

15.【解析】设函数，是偶函数，，

所以函数是奇函数，且，

当时，，

即当时，单调递减，，

所以当时，，，

当时，，，

是偶函数，所以当时，，当时，，

所以使得成立的的取值范围是.

故答案为：

16.【解析】令，则，

易知当时，单调递增，

由，，

则存在使得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，当时，即，

此时，故②错误；

，即，

，故①正确；

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

，与的大小无法确定即、的大小无法确定，故③错误；

，即，

，故④正确.故答案为：①④.

17.【解析】（1），

∴在上单调递增.

（2）不妨设，

.

令，设，

由（1）知在上单调递增，，，∴，

又，∴.

18.【解析】（1）由得该切线斜率为且，

所以，解得或，

又，所以，

若，则，与矛盾，故，.

（2）证明：由（1）可知，

由，可得，

令，，

当时，，

当时，设，，

故函数在上单调递增，又，

所以当时，，即函数在区间上单调递减，

当时，，即函数在区间上单调递增，，所以，

即.

19.【解析】（1）函数的定义域为是，

，

若有两个极值点，则方程一定有两个不等的正根，

设为和，且，所以解得，

此时，

当时，，

当时，，

当时，，

故是极大值点，是极小值点，故实数a的取值范围是；

（2）由（1）知，，，

则，

，

，

由，得，即，

令，考虑到，

所以可化为，

而，

所以在上为增函数，

由，得，

故实数a的取值范围是.

20.【解析】（1）由题设知在上恒成立，

即在上恒成立，

由函数在上单调递增，上单调递减， 

则函数在处取得最大值

，的取值范围为.  

（2）由，即，

得恒成立

记，则

因为，所以当时，；当时，

所以在上单调递减，在上单调递增     

，即 

所以                       

记，则    

因为，所以当时，；当时，

所以在上单调递增，在上单调递减

所以

所以的最大值为.

21.【解析】（1）（）.

因为，所以，令得，，

且，，在上；

在上；

所以函数在时，取最小值，

当最小值为0时，函数只有一个零点，

易得，所以，解得.

（2）由（1）得，函数，

设（），则，

设（），

则，

，

所以为减函数，所以，

即，

所以，即，

又，所以，又当时，为增函数，

所以，即.

22.【解析】（1）当时，，

则

设，当时，

所以：

的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）

设

则：

由（1）可知

所以在上为减函数

由题意：且

所以：在存在唯一零点，不妨设为，即

时，为增函数，时，为减函数，

再由，

得：，

设：，

，

对于时为单调递减函数，

，的取值范围为：.