2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的极值（三）（含解析）

《利用导数研究函数的极值》（三）

考查内容：主要涉及求已知函数的极值求参数（或取值范围）

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若函数在处取得极大值10，则的值为（    ）

A． B． C．或 D．不存在

2．已知函数在处取到极小值，则的值为（    ）

A．3或9 B．3 C．9 D．

3．函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

4．若函数 在上恰有两个极值点，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．函数不存在极值点，则a的取值范围是      （    ）

A． B． C． D．

7．若函数没有极值，则（    ）

A． B． C． D．

8．函数在内存在极值点，则（    ）

A．  B．  

C． 或 D． 或

9．若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

10．函数在上有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

11．已知函数的极大值为4，若函数在上的极小值不大于，则实数的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

12．若函数恰有三个极值点，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

二．填空题

13．已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是__________．

14．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数的取值范围为_________

15．已知函数无极值，则实数的取值范围是___

16．函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是____

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．若函数，当时，函数有极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

18．已知函数在处有极值.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围.

19．设函数，其中a，.

（1）若函数在处取得极小值，求a，b的值；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数在上只有一个极值点，求实数的取值范围.

20．已知．

（1）当时，求的极值；

（2）当时，判断函数的单调性；

（3）当时，若在处取得极大值，求实数的取值范围．

21．已知函数，．

（1）讨论函数的导函数的单调性；

（2）若函数在处取得极大值，求a的取值范围．

22．已知函数的导函数为.

（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数的极值为正数，求实数的取值范围.

《利用导数研究函数的极值》（三）解析

1.【解析】由，得，

因为在处取得极大值10，所以，

所以，解得 或

（1）当时，，

令，得或，

当时，，当时，，

故为函数的极小值点，不合题意，

（2）当时，，

令，得或，同（1）可得为函数的极大值点，

所以，故选：A

2.【解析】

由题意可得，解得或

当时，

或，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足在处取到极小值，

当时，，或，

，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，则在处取得极大值，综上，，故选：B

3.【解析】，，的一个零点为，

由韦达定理可知，的另一个零点为，

因为在处取得极大值，

所以在的左侧附近大于0，右侧附近小于0，

因为二次函数是开口向上的抛物线，

所以，即，解得.故选：A

4.【解析】，，

令，得，再令，

函数在上恰有两个极值点，

有两个零点，

又，令，得，且；

令，得，函数在上单调递增，

在上单调递减，由于，

因为与有两个交点，

根据数形结合法可得，，即，故选D.

5.【解析】，由函数在区间上有极值，

在区间上存在零点．

，可得，解得．

实数的取值范围是．故选：．

6.【解析】函数的定义域为,函数不存在极值点，即在没有实数根, ,故选D.

7.【解析】，，

当时，.令，得；令，得.在处取极小值.

当时，方程必有一个正数解，

（1）若，此正数解为，此时，在上单调递增，无极值.

（2）若，此正数解为，必有个不同的正数解，存在个极值.

综上，.故选：A.

8.【解析】因为在有解，即求值域，

因为在上单调递增，所以，选B.

9.【解析】作出函数图像如图所示，

因为，所以

由图得当是A的横坐标，是B的横坐标时，函数满足，在之间只有一个极值点，但是只要x的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以.

当是O的横坐标，是C的横坐标时，函数满足，在之间有两个极值点，所以.

所以.故选D

10.【解析】∵，∴．

∵函数在区间上有且仅有一个极值点，

∴在区间上只有一个变号零点．

令，得．令，

则在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴，又．

结合函数的图象可得，当时，在区间上只有一个变号零点．∴实数的范围为．故选B．

11.【解析】∵，

当时，，无极值；

当时，易得在处取得极大值，则有，即，于是，.

当时，，在上不存在极小值.

.当时，易知在处取得极小值，

依题意有，解得.故选B.

12.【解析】由题可知，当时，令，

可化为，令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，的图象如图所示，所以当，

即时，有两个不同的解；当，令，，解得，综上，.

13.【解析】因为函数

所以，

因为函数既有极大值又有极小值，

所以方程有两个不同的根，

由题意得,解得或，

即，故答案为.

14.【解析】由题可得

因为是函数的唯一一个极值点，所以是导函数的唯一根

所以在上无变号零点．设，则

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

所以 ，

结合与的图像可知，若是函数的唯一极值点，则

故实数的取值范围为.

15.【解析】因为，

所以，又函数 无极值，

所以恒成立，

故，即，解得.

16.【解析】因为，所以，

由函数在上有两个极值点，可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根；

令，则，由得；

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

即函数在上单调递减，在上单调递增；故；

又由在上有两不等实根，可得与曲线的图像有两不同交点，结合图像可得，.故答案为

17.【解析】（1）函数，，

由题意知，当时，函数有极值，，

即，解得，故所求函数的解析式为；

（2）由（1）得，令，得或，

当变化时，，的变化情况如下表：

因此，当时，有极大值2，当时，有极小值-2，

（3）画出函数图像，如图所示：

要使方程有三个不同的实数解，即有三个交点，

根据图像知：.

18.【解析】（1），由题意知：…

，令，令，

的单调递增区间是，单调递减区间是（-2，0）

（2）由（Ⅰ）知，

为函数极大值，为极小值

函数在区间[-3，3]上有且公有一个零点，

，即

，即的取值范围是

19.【解析】（1）因为，

所以，得.

由，解得.

（2）因为，

令，得或.

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为.

（3）由题意可得，即，

化简得，解得，所以a的取值范围是.

20.【解析】（1）的定义域为，当时，，

则，由得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，

故当时取得极小值为，无极大值.

（2）当时，，，

设，则，

当时，，当时，，

所以在上调递增，在上单调递减，，

所以当时，，即，所以在上单调递减．

（3）由已知得，则，

记，则，，令，得．

①若，则，当时，，故函数在上单调递增，且当时，，即；

当时，，即，

又，所以在处取得极小值，不满足题意．

②若，则当时，，故在上单调递增；

当时，，故在上单调递减，所以当时，，即，故在上单调递减，不满足题意．

③若，则，当时，，故在上单调递减，且当时，，即；当时，，即，

又，所以在处取得极大值，满足题意．

综上，实数的取值范围是．

21.【解析】（1）∵，∴，∴，

①当时，，∴函数在上单调递增；

②当时，若，则；若，则，

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时．函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）∵，∴．

①由（1）知，当时，在上单调递增，

若，则；若，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值；不合题意；

②当时，在上单调递增，在上是单调递减，∴，

∴在上单调递减．∴无极值，不合题意；

③当时，，由（1）知，在上单调递增，∵，

∴若，则；若，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值，不合题意；

④当时，，由（1）知，在上单调递减，∵，

∴若，则；若，则．

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极大值，符合题意．

综上所述，a的取值范围是．

22.【解析】（1），

对任意恒成立，即..

，当时有最小值-1，，.

（2）.

①当时，，在上递增，此时无极值；

②当时，设方程，.

方程有两个不等实根，，

，，一正一负，

设，，结合函数的图象可知，

当时，；当时，，

在上递增，在上递减，是函数在上的唯一极值点且是极大值点.

.

令，易知在上递增，又，

时，，.，

..