2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的极值（四）（含解析）

《利用导数研究函数的极值》（四）

考查内容：主要涉及函数（导函数）图像与极值的关系

一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知函数，其导函数的图象如图所示，则（    ）

A．在上为减函数 B．在处取极小值

C．在上为减函数 D．在处取极大值

2．若为函数的一个极值点，则下列图象一定不可能为函数的是（    ）

A．  B．C．  D．

3．如图为定义在R上的函数的图象，则关于它的导函数的说法错误的是（    ）

A．存在对称轴 B．的单调递减区间为

C．在上单调递增 D．存在极大值

4．函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点个数为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数，其导函数的图象经过点、，如图所示，则下列命题正确的是（    ）

A．当时函数取得极小值 B．有两个极大值点

C． D．

6．已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是(    )

A．在区间上为减函数 B．在处取得极小值

C．在区间，上为增函数 D．在处取得极大值

7．已知函数的定义域为R，其导函数为，的部分图象如图所示，则（    ）

A．在上单调递增 B．的最大值为

C．的一个极大值为 D．的一个减区间为

8．如图是函数的导函数的图象,则下列说法正确的是(    )

A．是函数的极小值点

B．当或时,函数的值为0

C．函数关于点对称

D．函数在上是增函数

9．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（   ）

A．的极大值为，极小值为

B．的极大值为，极小值为

C．的极大值为，极小值为

D．的极大值为，极小值为

10．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )．

A．无极大值点，有四个极小值点      B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点    D．有四个极大值点，无极小值点

11．如果函数的导函数的图像如图所示，下列判断正确的是（        ）

A．函数在区间（3，5）内单调递增

B．函数在区间（-2，2）内单调递增

C．当时，函数有极大值

D．当x=2时，函数有极小值

12．如图，可导函数在点处的切线为，设，则下列说法正确的是

A．是的极大值点 

B．是的极小值点 

C．不是的极值点 

D．是的极值点

二．填空题

13．已知函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f ′(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的序号是________．

①当x＝时函数取得极小值；②f(x)有两个极值点；

③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值．

14．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：

①-2是函数的极值点；

②函数在处取最小值；

③函数在处切线的斜率小于零；

④函数在区间上单调递增.

则正确命题的序号是__________．

15．如图是的导函数的图象，现有四种说法．

（1）在上是增函数，（2）是的极小值点

（3） 在上是增函数，（4）是的极小值点

以上说法正确的序号是_________

16．已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在_____处取得极值.

三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图.

（1）求的值；（2）求，，的值.

18．已知函数，其导函数的图象如图所示，过点和

（1）求函数的单调递减区间和极大值点；

（2）求实数的值；

（3）若恰有两个零点，请直接写出的值．

19．函数（）的导函数的图象如图所示：

（1）求的值并写出的单调区间；

（2）若函数有三个零点，求的取值范围．

20．已知函数，.

（1）求函数的极值；

（2）当时，若直线：与曲线没有公共点，求的取值范围.

《利用导数研究函数的极值》（四）解析

1.【解析】由导函数图象知，在和上单增，在，上单减，在在处取极大值，在处取极小值.故选：C.

2.【解析】由于，，

则为函数的一个极值点等价条件为：，

且在的左右两侧取值异号.

对于选项A，，，，

且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.

对于选项B，，，，且在的左右两侧取值可能异号，图象可能为函数的图象.

对于选项C，，，，在的左右两侧可取异号，故可能符合条件.

对于选项D，，，因此，不满足条件.故选：D.

3.【解析】由题可知，为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为1，可得，且两根分别是和1．所以存在极小值，对称轴，单调递减区间为，单调递增区间为．A，B，C正确．故选：D.

4.【解析】从的图象可知在内从左到右的单调性依次为增减增减，根据极值点的定义可知在内只有一个极小值点，极小值点为．

故选：D．

5.【解析】由导函数的图象可得：时，是增函数；时，是减函数；时，是增函数；所以A,B均不正确；

由于，所以C不正确；

因为，结合图象可知，所以；

故选：D.

6.【解析】由图象得：在递减，在递增，在递减，

故在取极小值，在取极大值，故选：B.

7.【解析】由的部分图象并不能确定在上单调递增，故A错误；

同理，的最大值也不一定为，故B错误；

由图可知为的一个极小值，故C错误；

当时，，所以在上单调递减，故D正确．故选：D.

8.【解析】由函数f(x)的导函数图象可知，

当x∈(−∞,−a),(−a，b)时,f′(x)<0，原函数为减函数；

当x∈(b,+∞)时,f′(x)＞0，原函数为增函数.

故不是函数的极值点，故A错误；

当或时,导函数的值为0，函数的值未知，故B错误；

由图可知，导函数关于点对称，但函数在(−∞,b)递减,在(b,+∞)递增,显然不关于点对称，故C错误；

函数在上是增函数，故D正确；故答案为：D.

9.【解析】由图象可知：

当和时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则；

当时，，则.

所以在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.所以的极小值为，极大值为.故选C.

10.【解析】所给图象是导函数图象，只需要找出与轴交点，才能找出原函数的单调区间，从而找出极值点；由本题图中可见与有四个交点，其中两个极大值，两极小值. 故选C.

11.【解析】根据图像知：导函数在上有正有负，故函数先减后增，A错误；

导函数在上恒为正，故函数单调递增，B正确；

导函数在上恒为正，函数单调递增，故不是极值点，C错误；

导函数在上为正，函数单调递增；导函数在为负，函数单调递减，故是极大值点，D错误.故选：B.

12.【解析】∵可导函数y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线为l：y=g（x），
∴F（x）=f（x）-g（x）在x0处先减后增，∴F′（x0）=0，
x=x0是F（x）的极小值点．故选：B．

13.【解析】有图可知1为极大值点，2是极小值点，故②③④正确，①错

14.【解析】根据导函数的图象可得，

当上，，在上，，

故函数在上函数单调递减，

在，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，所以①正确；

其中两函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以②不正确；

由图象可得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；

由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以④是正确的，综上可知，①④是正确的.

15.【解析】由函数的图象可知：，，

在上不是增函数，不正确；

时，函数在递减，

在递增，是的极小值点；所以正确；

在上，函数是增函数，所以正确；

函数在递增，在递减，是的极大值点，所以D不正确．

故答案为：

16.【解析】由图象，得当时， ，当且时， ， ，即函数在上单调递减，在上单调递增，即函数在处取得极小值.

17.【解析】（1）由图象可知，在上，在上，在上，

故在，上单调递增，在上单调递减.

因此，在处取得最大值，所以.

（2）∵，∴由，，得

.

18.【解析】（1）由导函数的图象可得：

时，，此时函数单调递增；

时，，此时函数单调递减；

时，，此时函数单调递增

函数的单调递减区间为，极大值点为

本题正确结果：，

（2）

由题意知：，即，解得：

（3）由（2）可得：

由（1）可得：为极大值点，为极小值点

恰有两个零点，或

或

19.【解析】(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.

因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，所以，解得a＝－，b＝－2，

由导函数的图象可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，

当x＜－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，

故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，在(－1，2)上单调递减．

(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，

函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，

所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.

而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得－＜c＜.

所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.

20.【解析】（1）定义域为，.

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值.

②当时，令，解得.

当，，在上单调递减；

当，，在上单调递增.

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.

综上，当时，函数无极值；

当时，有极小值为，无极大值.

（2）当时，，

直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程，在上没有实数解，即关于的方程在上没有实数解，即在上没有实数解.

令，则有.令，解得，

当变化时，，的变化情况如下表：

且当时，；时，的最大值为；当时，，从而的取值范围为.

所以当时，方程无实数解，

解得的取值范围是.