第六章 解三角形专练1—面积问题（1）（大题）-2022届高三数学一轮复习

第六章 解三角形专练1—面积问题（1）（大题）

1．如图：在中，，点在线段上，且．

（1）用向量，表示；

（2）若，，求的长；

（3）若，求的面积最大值．

解：（1）．

（2），

，

由余弦定理知，，

由（1）知，，

，

，即，

解得或（舍负），

的长为3．

（3），

，

由，

，当且仅当时，取等号，

，

，

的面积最大值为．

2．设中角，，所对的边为，，，为的角平分线，且．

（1）求的大小；

（2）若且的面积为，求的值．

解：（1）因为，可得：，

整理得：，即，

所以：，

又，

所以：，

（2），平方可得：，

又由面积为，可得：，

所以，

所以，

所以：，

又由：，可得：，

所以：．

3．在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值．

解：（1）因为，

由正弦定理可得，

又，

所以，

又为三角形内角，，所以，

因为，所以．

（2）延长线段至，满足，连接，

在中，，，，，

由余弦定理，有，

可得，解得，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时等号成立，

即的面积的最大值为．

4．在中，角、、所对的边分别是、、，．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若的周长为10，求面积的最大值．

解：（Ⅰ），

，

由正弦定理知，，

，即，

，

．

（Ⅱ）由余弦定理知，①，

的周长为10，

②，

由①②得，，

，当且仅当时，等号成立，

解得或，

，，不可能成立，

，

的面积．

故面积的最大值为．

5．在①，②，③这三个条件任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．

问题：已知的内角，，的对边分别为，，，_____，，，求的面积．

解：选①：，

，

即，

由正弦定理知，，

，

，，

的面积．

选②：

，且，

，

由余弦定理知，，

，即，

又，

，

，

的面积．

选③：，

，

由正弦定理知，，

，即，

由余弦定理知，，

即，解得，

，且，，

，，，

的面积．

6．在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

问题：在中，角，，的对边分别为，，，外接圆面积为，，且_____，求的面积．

解：若选①，

由正弦定理得，

因为，

所以，故，

由为三角形内角得，

由题意得外接圆半径，

由正弦定理得，

所以，

又，

所以，

由余弦定理得，

解得，，

所以；

若选②，

由正弦定理，

整理得，

因为，

故，

由为三角形内角得，

由题意得外接圆半径，

由正弦定理得，

所以，

又，

所以，

由余弦定理得，

解得，，

所以；

若选③，

由正弦定理得，

即，

因为，

所以，

故，

由题意得外接圆半径，

由正弦定理得，

所以，

又，

所以，

由余弦定理得，

解得，，

所以．