第六章 解三角形专练9—综合练习（一）-2022届高三数学一轮复习

第六章 解三角形专练9—综合练习（一）

一．单选题

1．在中，角，，的对边分别是，，，，，则　　

A． B． C． D．

2．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则角　　

A． B． C． D．

3．已知的外接圆半径为2，内切圆半径为1，，则的面积为　　

A． B． C．4或 D．或

4．南宋著名数学家秦九韶在其著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”翻译一下这段文字，即已知三角形的三边长，可求三角形的面积为．若中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则用“三斜求积术”求得的面积为　　

A． B．1 C． D．

5．在中，设角，，对应的边分别为，，，记的面积为，且，则的最大值为　　

A． B． C． D．

6．在中，角，，的对边分别为，，，，当的外接圆半径时，面积的最大值为　　

A． B． C． D．

7．已知在中，，，，则的面积为　　

A． B．40 C． D．20

8．在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，且满足，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二．多选题

9．在中，角，，所对的边分别为，，，下列命题正确的是　　

A．若，则 

B．若，则一定为直角三角形 

C．若，，，则外接圆半径为 

D．若，则一定是等边三角形

10．在中，内角，，的对边分别为，，，且，则下列叙述正确的有　　

A． 

B．若，则的面积的最大值为 

C．若，，且，则 

D．若，且满足条件的不存在，则边的取值范围是

11．若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是　　

A．角一定为锐角 B． 

C． D．的最小值为

12．已知的三个内角，，满足，则下列结论正确的是　　

A．是钝角三角形 

B． 

C．角的最大值为 

D．角的最大值为

三．填空题

13．在中，若，，则外接圆的面积为　　．

14．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则　　，若，则的面积为　　．

15．已知的内角，，的对边分别为，，，若，则（其中为的倒数）的最小值为　　．

16．的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为　　．

四．解答题

17．在钝角中，角，所对的边分别是，，，．

（1）求的值；

（2）若，，求的面积．

18．补充问题中横线上的条件，并解答问题．

在①，②，③这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求，的值；若问题中的三角形不存在，请明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且_____，______，？

注：从条件①②③任意选择两个填入问题中解答即可，如果多组分别解答，按第一组解答计分．

19．在中，内角，，所对的边长分别为，，，是1和的等差中项．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若边上的中线长为，，求的面积．

20．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求角的大小；

（2）求的取值范围．

第六章 解三角形专练9—综合练习（一）答案

1．解：，

，

，

，

则，即，

即．

故选：．

2．解：因为，可得，即，

所以由正弦定理可得，

可得，

因为，

可得，

因为，

所以．

故选：．

3．解：由三角形与外接圆的公式，可得，为外接圆半径，

，，

，

设内切圆半径为，即，

则，

，

在中，运用余弦定理，，

，②

联立①②，解得或，

当时，

，

当时，，

故选：．

4．解：因为，

由正弦定理得，即，

因为，

由余弦定理得，

所以，

所以．

故选：．

5．解：因为，，

所以，

所以，

令，

则，

令，可得，

所以在递增，，递减，

所以，

所以的最大值为，当且仅当时，取等号，

故选：．

6．解：，

由正弦定理可得，即，

，

，即，

由余弦定理，，

则，（当且仅当时等号成立），

的面积，当且仅当时，等号成立，

故选：．

7．解：中，，，，

，为锐角，

如图，作，使，则，

即．

设，则，

在中，由余弦定理得：，

即，

解得：，

，，

在中，由余弦定理得，

，

故面积，

故选：．

8．解：，

由正弦定理得，，①

又，②

化简①②两式可得，即，

因为三角形为锐角三角形，，

，

，，

故选：．

9．解：对于：若，则，则，即，则，故正确；

对于，利用正弦定理：，

整理得，整理得，

由于，，故，故，

故，所以一定为直角三角形，故正确；

对于：若，，，由余弦定理可得，

则，

则，则，故不正确，

对于，根据三角形的内角的范围和函数余弦值的取值，

只有当，关系式才成立，

所以一定是等边三角形，故正确；

故选：．

10．解：对于，，

由正弦定理得：，即，

，

由余弦定理得：，

又，，故错误；

对于，若，由可知，，

即，当且仅当时取等号，

，即面积的最大值为，故正确；

对于，，

则，

，，，

，故正确；

对于，，，，

若满足条件的存在，

则，，

，解得，

满足条件的不存在，则边的取值范围是，故错误．

故选：．

11．解：，

，即，

，

又，一定为钝角，即选项错误；

由余弦定理知，，

化简得，，即选项正确；

，

，即选项正确；

，

为钝角，，，

，当且仅当，即时，等号成立，

此时取得最大值，即选项错误．

故选：．

12．①，

运用正弦定理可得，，即，

角为钝角，故选项正确，

②角为钝角，

为的最大边，，

，

，

，

由正弦定理可得，，故选择正确，

③，

运用余弦定理可得，，化简可得，

，

当且仅当，即，取等号，

的最小值为，

又，

，故选项正确，

④，

，

，

角为钝角，

，

，即，

，

当时，，，

即可取到大于的值，故选项错误，

故选：．

13．解：在中，因，

则，化简得，

而，

则，可得，

又在外接圆半径为，，

由正弦定理得，即，

所以外接圆的面积为．

故答案为：．

14．解：，

，

又．

整理得．

由于，即，且，

解得，，

则，

又，由正弦定理知，，

的面积．

故答案为：，．

15．解：，

，

，，

，

，

，

，

，

，当且仅当，即，

的最小值为3，

故答案为：3．

16．解：，

所以，当且仅当，即时取等号，

所以，即，，

所以，当且仅当时取等号，

所以，

则面积，即面积的最大值．

故答案为：．

17．解：，

，

，

为钝角，

，

，

由正弦定理可得，．

（2）在钝角中，由余弦定理可得，，

，，，

，

，，

，，

．

18．解：因为，

所以由正弦定理可得，于是，

因为，

所以，

又，

所以，

若选择条件①②，

因为，

所以，，

故，

于是，

这样的三角形存在，

由，可得，

所以．

若选择条件①③，

由于，，

可得，可得，

这样的三角形存在，

由，可得，

所以．

若选择条件②③，

因为，，

所以，

由，可得，

解得．

19．解：由题意及正弦定理得，

所以，

化简得，

因为，

所以，

由为三角形内角得；

设中线交于，则，

由余弦定理得，

即，

化简得，

因为，

所以，

所以．

20．解：（1）由，

运用正弦定理可得：，

整理化简得：，即，

又，

，

又，

．

（2）由余弦定理可得，，

，

，

，即，

的值域范围为，

的值域范围为．

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日期：2021/6/22 16:52:57；用户：尹丽娜；邮箱：13603210371@zz.com；学号：19839377