第七章 数列 专练11—恒成立问题（大题）-2022届高三数学一轮复习

第七章  数列专练11—恒成立问题（大题）

1．已知数列的各项均为正，其前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．

解：（1）数列的各项均为正，其前项和为，且满足①．

当时，解得舍去），

当时，②，

①②得：，

故（常数），

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以．

（2）由（1）得：，

由于对任意的，都有，

根据函数在处取得最小值，

所以或，

解得．

2．数列的前项和为，，对任意的有，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，，，，求数列的通项公式．

解：（1）根据题意，，

故有①，②，

②①得，，

化简可得，，

，

，

即得数列是公差为2的等差数列，

又因为，

所以数列的通项公式即为：．

（2）根据题意，因为对于任意的，都有，

即得，

，，，，

将以上个式子相加可得，，

；，

③；

④；

④③得，

．

3．已知，有穷数列满足，，将所有项之和为的可能的不同数列的个数记为．

（1）求，；

（2）已知，，若时，总有，求出一组实数对

（3）求关于的表达式．

解：（1）根据题意，符合条件的数列分别列举如下：

符合的数列有：，1，，，，，，所以；

符合的数列有：，1，1，，，1，，，2，，，1，，，，所以．

（2）由分析可得：，

，可化简为，

，或，

则由，组成的一组实数对为．

（3）由（2）可知，，

则数列是公比为的等比数列，首项为，

，

，

再利用斐波那契数列将化简，直到化为最简，

．

4．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，为数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列为等比数列；

（3）若恒成立，求的最小值．

解：（1）等差数列为等差数列，设首项为，公差为，

则有，解这个方程组可得，，

数列的通项公式即为：．

（2）根据题意，可得，

，

即得数列是以为首项，公比为3的等比数列．

（3）由上可得，，

，

，

，

随着的增大而增大，

又，，

所以使恒成立的的最小值为5．

5．已知是等差数列，其前项和为，若，，成等比数列且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），

取，可得：，化为：，即．

，，成等比数列且，

，即，

化为：，，

解得，．

．

（2），

数列的前项和

．

，恒成立，

．

实数的取值范围为，．

6．已知数列中，，．

（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；

（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．

解：（1）证明：由，得，

，

数列是以3为公比，以为首项的等比数列，

，即．

（2）由题意得．

，

，

两式相减得：，

因为，

所以，

所以使恒成立的最小的整数为4．

7．已知数列的各项均为正数，前项和为，．

（1）求，，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）令得，，解得，

令得，，且，解得，

令得，，且，解得；

（2），

时，，

相减得，，整理得，，

，

，即，，

数列是公差为2的等差数列，

；

（3）由恒成立，令，则，

，

的最大值为，

的取值范围是．