第三章 函数专练6—奇偶性-2022届高三数学一轮复习

第三章  函数专练6—奇偶性

一、单选题

1．已知函数为奇函数，当时，，且，则（7）　　

A． B． C． D．2

2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是　　

A． B． C． D．

3．若函数为奇函数，则必有　　

A． B． C． D．

4．若是定义在上的偶函数，在，上是减函数，且（2），则使得的的取值范围是　　

A． B． 

C．，， D．，

5．下列函数中，其图象关于原点对称的是　　

A． B． 

C． D．

6．定义在上的函数为偶函数，，，，则　　

A． B． C． D．

7．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，，

8．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为　　

A．， B． 

C． D．，

二、多选题

9．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

10．已知函数，则下列说法正确的是　　

A．函数是偶函数 

B．函数是奇函数 

C．函数在，上为增函数 

D．函数的值域为，

11．已知函数是定义在，上的偶函数．当时，，若，则　　

A． B． C．的值可能是4 D．的值可能是6

12．已知，函数，存在常数，使得为偶函数，则的值可能为　　

A． B． C． D．

三、填空题

13．函数，若（5），则　　．

14．函数为偶函数，则实数的值为　　．

15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则　　．

16．已知定义在上的函数满足条件，且函数是奇函数，给出以下四个命题：

①函数是周期函数；

②函数的图象关于点，对称；

③函数是偶函数；

④函数在上是单调函数．

在上述四个命题中，正确命题的序号是　　（写出所有正确命题的序号）

四、解答题

17．已知定义在上的函数是偶函数，且时，，

（1）当时，求解析式；

（2）写出的单调递增区间．

18．已知函数．

（1）若，求函数的零点；

（2）针对实数的不同取值，讨论函数的奇偶性．

19．设、为实常数）．

（1）当时，证明：不是奇函数；

（2）当，时，判断并证明函数的奇偶性．

20．已知是定义在上的奇函数，且当时，．

（1）求的解析式；

（2）求关于的不等式的解集．

第四章  函数专练6—奇偶性答案

1．解：因为函数为奇函数，当时，，且（3），

所以（3），

即，

所以，

则（7）．

故选：．

2．解：设，则，当时，，

，

函数是定义在上的奇函数，，

．

故选：．

3．解：函数为奇函数

故选：．

4．解：是定义在上的偶函数，在，上是减函数，在，上是增函数，

，则不等式等价于（2），．

．

故选：．

5．解：根据题意，函数图象关于原点对称的是奇函数，依次分析选项，

对于，，其定义域为，

有，为非奇非偶函数函数，不符合题意；

对于，，其定义域为，，

函数为偶函数，不符合题意；

对于，，其定义域为，

，函数为偶函数，不符合题意；

对于，，其定义域为，，

，为奇函数，符合题意．

故选：．

6．解：根据题意，函数为偶函数，则有，即，

变形可得，必有；

则，在，上单调递减，

（1），，，

则有，

故选：．

7．解：易得，故为偶函数，

当时，单调递增，（1），

因为，

所以（1），

故（1），

即（1），

所以，

解得或．

故的范围，，．

故选：．

8．解：因为函数为定义在上的偶函数，当时，单调递增，

所以，

因为，

所以，

即，

当时，可化为，成立，

当时，，即，

令，则，

所以，即，

解得，

所以，

当时，，

即，显然成立，

综上，的解集，．

故选：．

9．解：根据题意，依次分析选项：

对于，，其定义域为，有，为奇函数，

又由和在上都是减函数，则，在上也是减函数，符合题意，

对于，，其定义域为，对于任意，都有，是奇函数，

在上也为减函数，符合题意，

对于，，是一次函数，不是奇函数，不符合题意，

对于，，是反比例函数，在其定义域上不是减函数，不符合题意，

故选：．

10．解：根据题意，函数，其定义域为，

有，所以函数是偶函数，则正确，错误，

对于，，不是增函数，错误，

对于，，

设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，即函数的值域为，，正确，

故选：．

11．解：由题意可得，则，故正确，错误；

因为是偶函数，所以（2）．

当，时，单调递增．

因为是偶函数，所以当，时，单调递减．

因为，所以（2）

所以，解得或，故错误，正确．

故选：．

12．解：根据题意，，则，

若为偶函数，则且，

则，，

必有，则，必有，

当时，，当时，，

故选：．

13．解：令，

则为一个奇函数，

又（5），

（5），

，

，

故答案为：．

14．解：根据偶函数的定义可得，对定义域的任意都成立，

即对定义域内的任意的都成立，

整理可得，，

，

故答案为：．

15．解：由题意，

由于当时，，故，

故答案为：．

16．解：对于①：函数是周期函数且其周期为3．①对

对于②：是奇函数其图象关于原点对称

又函数的图象是由向左平移个单位长度得到．

函数的图象关于点，对称，故②对．

对于③：由②知，对于任意的，都有，用换，可得：

对于任意的都成立．

令，则，函数是偶函数，③对．

对于④：偶函数的图象关于轴对称，在上不是单调函数，④不对．

故答案为：①②③．

17．解：（1）时，，

时，

，

是偶函数，，

时，，

（2）由（1）知时，，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间，

时，根据复合函数的单调性可得函数的单调增区间，

所以函数的单调增区间为：，．

18．解：（1）根据题意，函数，则有，解可得，

即函数的定义域为，，

由，得，

化简得，即，，

所以，函数的零点为；

（2）函数的定义域为，，若函数为奇函数，则必有（1）；

代入得于是无解，所以函数不能为奇函数，

若函数为偶函数，由（1）得解得；

又当时，，则；

对任意，都成立，

综上，当时，函数为偶函数，当时，函数为非奇非偶函数．

19．（1）证明：当时，，

则，

不恒成立，

故不恒成立，

故不为奇函数，

（2）当，时，为奇函数，证明如下：

因为

，

，

，

故，

所以为奇函数．

20解：（1）因为是定义在上的奇函数，且当时，，

所以当，即时，有，

故，

则．

（2）当时，，任取，

则，

，，，则，即，即在上单调递增，

又是定义在上的奇函数，所以是上的增函数．

原不等式等价于，

构造函数，易知也是上的增函数，

原不等式等价于，即，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为，．