第四章 导数专练10—含有任意、存在性问题-2022届高三数学一轮复习

第四章 导数专练10—含有任意、存在性问题

1．已知函数，．

（1）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；

（2）设，若，，，，求整数的最小值．

（参考数据：，

解：（1），

若函数在区间上单调递增，则在恒成立，

所以，解得；

若函数在区间上单调递减，则在恒成立，

所以，解得，

综上，实数的取值范围为，，．

（3）由题意得，，

因为，所以，

即，

由，

当时，因为（1），则不合题意；

当时，由，得或（舍去），

当时，，单调递减，

当时，，单调递增．

所以，即，

整理得，，

设，，

所以单调递增，，

又因为（2），（3），

所以，

故整数的最小值为3．

2．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设函数存在实数，，，使得不等式成立，求的取值范围．

解：（Ⅰ），．

当时，，时，，当，时，，

的减区间为，增区间为，；

当时，，在上恒成立，则的减区间为；

当时，，的减区间为；

当时，，时，，当，时，，

的增区间为，减区间为，．

综上，当时，的减区间为，增区间为，；

当时，的减区间为；

当时，的增区间为，减区间为，；

（Ⅱ），

存在实数，，，使得不等式成立，

，

，

，当，时，，单调递减，

当，时，，单调递增，

（e），，

，得，

又，．

3．已知函数．

（1）讨论的单调性．

（2）若对任意的，，总存在，，使得，证明：．

解：（1）函数，，

，

令，

△时，解得时，，

则函数在上单调递增．

△时，解得，或，

则函数在上单调递增．

由，解得，．

时，，，．函数在上单调递增．

时，，．函数在，，上单调递增，在，上单调递减．

综上可得：时，函数在上单调递增．

时，，．函数在，，上单调递增，在，上单调递减．

（2）证明：，，．

化为：，

整理可得：，

令，

，

可得函数在上单调递减，在上单调递增．

（1）．

，即，

令（a），

（a）在，上单调递减，

，

解得：．

4．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）证明：，，，．

解：（1），，，

，

令，解得；令，解得．

函数的单调递减区间，单调递增区间为，．

（2）证明：，，，要证明．

即证明：．

即证明：．

令，，，（1）．

，

函数在，上单调递减，

（1），

，

即：，，，成立．

5．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，当，，时，设（a），求（a）的取值范围．

解：（1），

①当，即时，若或，，若，，

的单调递增区间为，，单调递减区间为；

②当，即时，恒成立，在上单调递增；

③当，即时，若，，若或，，

的单调递增区间为，，单调递减区间为；

（2）由（1）知，当时，在上递减，在上递增，

由，解得或，

①若，即时，在，上递减，；

②若，即时，在，上递减，在，上递增，且（1），则；

③若，即时，在，上递减，在，上递增，且（1），则，

，

（a）在上递减，

，

综上所述，．

6．已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在实数，，使得对于任意的恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）函数的定义域是，

，

当时，令，解得：，令，解得：或，

故在递减，在，递增，在递减；

（Ⅱ），即，

即存在，，使得，

故对于任意恒成立，

即，令，

即对任意恒成立，

，

设，，

当时，，

在单调递增，又，（1），

故存在唯一，使得，

当，时，，则，减函数，

故（1），不符合题意，

故，

下面证明当时，恒成立，

，故，

即在，上单调递减，（1），

综上：的取值范围是，．

7．已知函数，．

（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；

（2）若存在两个不相等的正数，，使得，证明：．

解：（1）当时，恒成立等价于，

令，则，

当时，，，，在，上单调递减，

所以（1），所以恒成立．

当时，令，，

所以在，上单调递减，（1），，

由零点存在性定理知，，，使得，且时，，，

在上单调递增，所以（1），不满足题意，舍去，

综上，．

（2）证明：不妨设，则，

因为，所以，

令，

，在上单调递增，，

所以，即，

所以，

即，

下证，

令，即证，只需证，

设，在上恒成立，

所以在上单调递减，

所以（1），

所以．